算法的渐近符号

Question

我终于明白了，当函数f(n) 被夹在同一个类的下限和上限之间时，这意味着什么，因此可以描述为 theta(n)。 p>

举个例子：

f(n) = 2n + 3

1n <= 2n + 3 <= 5n for all values of n >= 1

在上面的例子中，n 的顺序在两边，所以f(n) 夹在1 * g(n) 和5 * g(n) 之间。

当我尝试不使用符号来考虑最佳或最坏情况时，它也更加清晰，而是作为上限、下限或平均界限。

所以现在我想我终于理解了这个和它周围的数学，我回去访问这个页面：https://www.bigocheatsheet.com/ 查看各种搜索函数的运行时间，突然又对那里有多少算法感到困惑，因为例如冒泡排序，两边（上下界）的顺序不同，但使用 theta 来描述它们。

冒泡排序有Ω(n) 和O(n^2)，但theta 值是Θ(n^2)。如果函数的上限是N^2的顺序，而函数的下限是n的顺序，它怎么能有Θ(n^2)？

Answer 1

实际上，您所引用的页面具有高度误导性 - 即使并非完全错误。如果您分析算法的复杂性，您首先必须指定场景：即您是在谈论最坏情况（默认情况）、平均情况还是最佳情况。对于这三个场景中的每一个，您都可以给出一个下界 (Ω)、上界 (O) 或一个紧界 (Θ)。

以插入排序为例。虽然页面严格来说是正确的，因为最好的情况是 Ω(n)，但它也可以（更准确地说）说最好的情况是 Θ(n)。同样，最坏的情况确实是该页面上所述的 O(n²)（以及 Ω(n²) 或 Ω(n) 或 O(n³)），但更准确地说是 Θ(n²)。

不幸的是，使用 Ω 总是表示最好的情况，而使用 O 总是表示最坏的情况，这是一个经常犯的错误。外卖信息：情景（最差、平均、最佳）和界限的类型（上限、下限、紧）是两个独立的维度。