如何证明渐近符号

Question

我要证明下面的说法

2^(⌊lg n⌋+⌈lg n⌉)∕n ∈ Θ(n)

我知道要证明这一点，我们必须找到常量 c1>0、c2>0 和 n0>0 使得

c1.g(n) <= f(n) <= c2.g(n) for all n >= n0

换句话说，我们必须证明f(n) <= c.g(n) and f(n) >= c.g(n)。

问题是如何证明左手边(2^(⌊lg n⌋+⌈lg n⌉)∕n)

谢谢

Answer 1

您可以从扩展指数开始。它等于 n1*n2/n，其中 n1n 和 n*2>n2。其余的应该很容易。

Answer 2

这是上界的推导：

2^(⌊lg n⌋+⌈lg n⌉)/n
= 2^(2⌊lg n⌋+1)/n 
<= 2^(2 lg n + 1)/n
= 2^(2 lg n) 2^(1) / n
= 2 n^2 / n
= 2 n
= O(n)

所以我们知道你的函数可以以 2*n 为界。现在我们做下限：

2^(⌊lg n⌋+⌈lg n⌉)/n
= 2^(2⌈lg n⌉ - 1) / n
>= 2^(2 lg n - 1)/n
= 2^(2 lg n) 2^(-1) / n
= 1/2 n^2 / n
= 1/2 n
= O(n)

我们现在知道您的函数可以以 n/2 为界。

在 gnuplot 上检查；这些答案看起来又好又紧。这是使用定义 if floor() 和 ceiling() 函数的纯代数解决方案。