渐近符号有缺陷吗？

Question

任何算法的最佳情况复杂度是算法完成其任务所需的最短时间。我们知道合并排序、快速排序等算法的最佳情况复杂度是 Ω(n log(n))，它定义了这些算法的下限。

我们知道，在渐近符号中 -

O(n) + O(n log(n)) = O(n log(n))

还有，

Ω(n) + Ω(n log(n)) = Ω(n log(n))

因此，如果在这些排序算法中，我们首先在 O(n) 时间内遍历整个数组，以确定该数组是否已经按升序或降序排序，那么它们的平均情况和最坏情况复杂度将渐近保持不变.但他们最好的情况复杂度现在将变为 Ω(n)。

从逻辑上讲，我理解这些渐近符号的方式肯定存在缺陷，否则当渐近符号正在开发或流行用于度量排序算法时，肯定有人会指出这一点。我是否正确地假设这是渐近符号中的一个似是而非的缺陷，还是我错过了一些渐近符号规则？

Answer 1

首先，您应该在脑海中区分案例（最佳、最差、平均等）和界限（上限、下限、O、Omega、Theta 等）

让我们专注于冒泡排序，定义如下：

if array == null or array.length < 2 then return
do
    swapped = false
    for i = 0 to array.length - 2
        if array[i] > array[i+1] then
            swap(array, i, i+1)
            swapped = true
until not swapped

该算法的最佳情况是排序数组，在​​这种情况下，下界 (Omega)、上界 (O) 和 Theta 都同意运行时由 f(n) = an 形式的函数绑定；也就是说，T(n) = O(n)。冒泡排序的最佳情况是线性的。

这个算法最坏的情况是一个反向排序的数组。在这种情况下，运行时间由像 g(n) = bn^2; 这样的函数从上到下限定。 T(n) = O(n^2) 在最坏的情况下。

您不会遗漏任何东西，算法具有不同的最坏情况和最佳情况运行时界限是完全正常的。算法也很可能不会针对最佳情况进行优化，因为最好的情况通常不是我们担心的情况；是的，归并排序可以首先检查数组是否已排序，但是在所有可能的长度为 N 的数组的集合中，这些数组的数量相对较少。

此外，您可以选择谈论最坏情况下的下限或最佳情况下的上限。这些东西不是我们通常关注的——而是关注最坏情况的上限，或者可能是最好情况的下限——但情况和界限是完全独立的东西，可以任意组合。

Answer 2

使用渐近复杂度作为速度度量肯定存在问题。首先，显然常数很重要。 1000n 通常会比n log n 大得多，对于n 的任何实际值，n^1000 肯定比2^n 大得多。然而，事实证明，渐近复杂度通常是算法实际速度的一个相当好的指标。

你提出的问题也是正确的，但我不认为这是一个问题。确实，在快速排序开始时进行简单的isSorted() 检查会将其最佳案例复杂度降低到Θ(n)，但很少有人关心最佳案例性能。事实上，许多常见问题的算法都可以修改为最佳情况线性，但这并不是很有用。

最后，请注意，这并不是渐近符号中的缺陷。进行随机猜测并验证猜测是否正确（例如通过猜测数组已经排序）通常确实可以提高最佳情况的性能，而对平均或最坏情况的影响很小，无论使用何种符号。