渐近符号答案

【问题标题】：Asymptotic Notation渐近符号
【发布时间】：2012-02-18 12:17:17
【问题描述】：

这是 MIT OpenCourse Introduction to Algorithm 作业中关于Asymptotic Notation 的问题：
对于以下每个陈述，确定对于渐近非负函数 f总是为真、从不为真或有时为真 /em> 和 g。如果它总是正确或从不正确，请解释原因。如果它有时是真的，请给出一个正确的例子，以及一个错误的例子。

f(n) ≠ O(g(n)) and g(n) ≠ O(f(n))   (both are Big-O notes)

我认为它绝不是真的。这是我的证明：

   f(n) ≠ O(g(n))
=> f(n) = w(g(n))   (little-omega note)
=> g(n) = o(f(n))   (little-o note)
=> g(n) = O(f(n))   (big-O note)

结果与g(n) ≠ O(f(n)) (Big-O note) 矛盾。同样，

   g(n) ≠ O(f(n))
=> g(n) = w(f(n))   (little-omega note)
=> f(n) = o(g(n))   (little-o note)
=> f(n) = O(g(n))   (big-O note)

这与 f(n) ≠ O(g(n)) (Big-O note) 相矛盾。

解决方案说它有时是真的：

For f(n) = 1 and g(n) = ||n*sin(n)|| it is true,  
while for any f(n) = O(g(n)), e.g. f(n) = g(n) = 1, it is not true.

我的证明哪里做错了？另外，我无法理解解决方案。 ||n*sin(n)|| 在我看来就像 vector norm。

【问题讨论】：

假设 ||n sin(n)||应该读为 |n sin(n)|并参考实数的绝对值（当然，这是 R^1 上的向量范数），反例是有道理的。可以选择 n*(1+(-1)^n) = 0, 0, 2, 0, 4, 0, 6, ... 代替。
一个教学旁注：也许您希望 f=O(g) 成为函数集的偏序，因为对于实数 f、g，它感觉与 f≤g 非常相似。

标签： algorithm math asymptotic-complexity

【解决方案1】：

我认为n*sin(n) 只是表明它是一个函数，即使对于用于定义 Big O 的 常数乘数 的所有选择，对于 n 的后续值，它都会不断变得大于和小于 f(n) = 1并因此f(n) ≠ O(g(n)) and g(n) ≠ O(f(n))

像g(n) = 2*sin(n) 这样天真的选择的函数在这里不会有好处。有人可能会认为这也会在 f(n) = 1 周围交替出现，但 g(n) = O(f(n)) : M*f(n) > g(n) for M = 3 等

【讨论】：

是的，没错，像n*sin(n) 这样的函数就是这么漂亮

【解决方案2】：

第一个不是真的：从这个f(n) ≠ O(g(n)) 它不遵循这个：f(n) = w(g(n))。这两个功能可能会在某个点相交，然后拍打地方，另一个变得更大（如果我用简单的话）。

他们选择的函数就是这种情况：对于 n g(n) 并且存在 g(n) > f(n) 的 ns（例如 pi / 2）。

【讨论】：