渐近符号的使用

Question

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我对这个特定问题有疑问，答案说 big-Oh(n^2) 算法不会比 big-Oh(n^3) 算法运行得更快，而如果这两种情况下的符号都是 theta，那么本来是真的，但为什么会这样呢？

如果有人可以向我详细解释，我会很高兴，因为我找不到任何可以澄清我的疑问的来源。

Answer 1

第 1 部分的释义（请注意，问题中的措辞在“数字”被量化的地方是模棱两可的——它必须在您选择两种算法之后选择，但我认为这就是预期的结果）。

给定具有 f=Theta(n^2) 和 g=Theta(n^3) 的函数 f 和 g，那么存在一个数 N，使得对于所有 n>N，f(n)

第 2 部分释义：

给定函数 f 和 g，其中 f=O(n^2) 和 g=O(n^3)，那么对于所有 n，f(n)

1 为真，可以应用 big-Theta 的定义来证明。

2 是错误的（作为一般性陈述），您可以通过找到一个 f 和 g 为错误的示例来反驳它。例如，f(n) = 2, g(n) = 1。大 O 是一种上界，所以这些常数函数起作用。问题中给出的反例为 f(n)=n, g(n)=log(n)，但原理相同。

Answer 2

答案说 big-Oh(n^2) 算法不会比 big-Oh(n^3) 算法运行得更快

更微妙的是：O(?²) 算法可能比 O(?³) 算法运行得更慢。不是会，而是会。

答案给出了一个原因，但实际上有两个：

1. 大 O 表示法只给出 上 界。引用自*：

   用大 O 表示法对函数的描述通常只提供函数增长率的上限。

   所以任何 O(?) 也是 O(?²) 和 O(?³)，但不一定反之亦然。答案是 O(?³) 的算法可能有一个更严格的界限，即 O(log?)。的确，这听起来很傻，因为当它也是 O(log?) 时，为什么还要说它是 O(?³)？那么只讨论 O(log?) 似乎更合理。这就是我们通常做的事情。但还有第二个原因：

2. 第二个选项在其声明中没有约束“n > number”。这是必不可少的，因为无论时间复杂度如何，对于给定的 ? 值，算法的运行时间都无法从其时间复杂度中确定。 O(?log?) 的算法可能需要 10 秒才能完成工作，而 O(?²) 的算法可能需要 8 秒才能获得相同的结果，即使它的时间复杂度更差。在比较时间复杂度时，您只能获得关于渐近行为的信息，即当 ? 大于足够大的数字时。

   因为这个额外的约束是第一个声明的一部分，它确实是真的。