渐近证明示例答案

【问题标题】：Asymptotic proof examples渐近证明示例
【发布时间】：2013-07-06 21:38:27
【问题描述】：

我遇到了两个渐近函数证明。

f(n) = O(g(n)) 意味着 2^f(n) = O(2^g(n))

Given: f(n) ≤ C1 g(n)
     So, 2^f(n) ≤ 2^C1 g(n)                        --(i)

Now, 2^f(n) = O(2^g(n)) → 2^f(n) ≤ C2 2^g(n)                  --(ii)

From,(i) we find that (ii) will be true.
Hence 2^f(n) = O(2^g(n)) is TRUE.

你能告诉我这个证明是否正确吗？有没有其他方法可以解决这个问题？

2.f(n) = O((f(n))^2)

如何证明第二个例子？这里我考虑两种情况，一种是 f(n)1。

Note: None of them are homework questions.

【问题讨论】：

例如 2，用 f(n) = 1/n 得到什么？
正确。所以你说 f(n) = O((f(n))^2) 只对 f(n) >= 1 为真。
“f(n) >= 1”是什么意思？假设奇数 n 为 f(n) = 1/n，偶数 n 为 1+n。
我的意思是，在你的例子中 (1/n)，对于 n=1，它证明了条件 f(n)= 1) 但随着 n 向无穷大增长，f(n) 向零增长 (f(n) =1 时，上述性质才成立
只要函数 f 的下界为正数，就成立；看答案

标签： algorithm asymptotic-complexity

【解决方案1】：

示例 1 的尝试证明看起来是善意的，但存在缺陷。首先，“2^f(n) ≤ 2^C1 g(n)”表示2^f(n) ≤ (2^C1)*g(n)，一般来说是假的。它应该写成2^f(n) ≤ 2^(C1*g(n))。在以“现在”开头的行中，您应该明确地说C2 = 2^C1。声称“(ii) 将是真的”是空洞的（没有 (ii)）。

像f(n) = 1/n 这样的函数反驳了示例 2 中的主张，因为没有常数 N 和 C 使得对于所有 n > N，f(n) N，n>C。 f(n) = 1/n = n*(1/n²) > C*(1/n²) = C*(f(n))²。因为 N 和 C 是任意选择的，这表明没有 N 和 C 的固定值，使得对于所有 n > N，f(n)

说“f(n) ≥ 1”不足以证明第二个主张；但如果你写“f(n) ≥ 1 for all n”或“f() ≥ 1”，这是可证明的。例如，如果奇数 n 为 f(n) = 1/n，偶数 n 为 1+n，则偶数 n > 0 时 f(n) > 1，奇数 n 时 f(n) > 1。要证明 f(n) = O((f(n))²) 为假，请使用与上一段中相同的证明，但附加规定 n 是偶数。

实际上，“f(n) ≥ 1 for all n”比确保 f(n) = O((f(n))²) 所必需的要强。令 ε 为任何固定的正值。无论 ε 有多小，“f(n) ≥ ε for all n > N'”确保 f(n) = O((f(n))²)。为了证明这一点，取 C = max(1, 1/ε) 和 N=N'。

【讨论】：