通过归纳证明算法正确答案

【问题标题】：Proving an algorithm correct by induction通过归纳证明算法正确
【发布时间】：2015-03-07 21:01:10
【问题描述】：

我应该通过归纳来证明一个算法，它返回 3ⁿ - 2ⁿ 对于所有 n >= 0。这是用 Eiffel 编写的算法。

P(n:INTEGER):INTEGER;
  do
    if n <= 1 then
        Result := n
    else
        Result := 5*P(n-1) - 6*P(n-2)
    end
  end

我的理解是你分三步证明。基本步骤、归纳假设和完整性证明。这是我目前拥有的。

依据：

P(0) 返回 0，并且 3⁰ - 2⁰ = 0。

P(1) 返回 1，并且 3¹ - 2¹ = 1。

归纳假设：

假设 P(k) 对于 0 k - 2^k。

完整性证明：

对于 n，P(n) 返回 5(P(n-1)) - 6(P(n-2))

5(P(n-1)) - 6(P(n-2))

5(3^n-1 - 2^n-1) - 6(3^n-2 - 2^{n- 2})

这是我卡住的部分。我到底应该如何将其减少为 3ⁿ - 2ⁿ？

【问题讨论】：

不要过分强调，但代数应该可以工作。
接下来的问题是：你怎么知道它是3^n - 2^n？
@IVlad 给了它。
@Jimenemex：在你的程序中，你写了5*g(n-1) - 6*g(n-2)? g 是什么？
@geceo 确实如此。我的错。应该是 P(n)

标签： algorithm correctness induction eiffel proof-of-correctness

【解决方案1】：

使用 3^n-1 = 3.3^n-2 和 2^n-1 = 2.2^{n-2 这个事实} :

5(3^n-1 - 2^n-1) - 6(3^n-2 - 2^{n- 2})

= 15(3^n-2) - 10(2^n-2) - 6(3^n-2) + 6 (2^n-2)

= 9.3^n-2 - 4.2^n-2

= 3ⁿ - 2ⁿ

【讨论】：

【解决方案2】：

  5(3^(n-1)-2^(n-1))-6(3^(n-2)-2^(n-2)) =
= 5*3^(n-1)-5*2^(n-1)-6*3^(n-2)+6*2^(n-2) =
= 5*3^(n-1)-5*2^(n-1)-2*3^(n-1)+3*2^(n-1) =
  --------- ========= --------- =========
= 3*3^(n-1)-2*2^(n-1) = 
= 3^n - 2^n

【讨论】：