通过证明递归不是 O(n) 的归纳证明是 Omega(nlogn)答案

【问题标题】：Inductive Proof that a recurrence isn't O(n) by showing it is Omega(nlogn)通过证明递归不是 O(n) 的归纳证明是 Omega(nlogn)
【发布时间】：2015-08-20 21:10:56
【问题描述】：

注意：这与家庭作业有关。

我试图证明T(n/3) + T(2n/3) + n >= cn , for all c > 0。

当我尝试这样做时，基本情况失败(T(1) = 1 >= cn, for all c > 0，不正确）。所以为了解决这个问题，我想表明问题的下限高于O(n)。这是否构成正确的证明？

【问题讨论】：

问题中是否有要求n从1开始？由于 Big-O 表示法真正关心的是找到极限，因此它从哪里开始通常不是什么大问题。
嗯，这与“中位数的中位数”问题有关。我想它并没有说它必须从一个开始，但对我来说，基本情况应该是一个大小为 1 的数组似乎是最合乎逻辑的。
从一个大小为 1 的数组开始似乎是合乎逻辑的，但这并不意味着它需要进行 Big-O 分析。由于大小为 1 的数组是一个非常无趣的案例，因此跳过它以揭示其余案例的模式非常有用（而且准确）。

标签： math big-o time-complexity proof induction

【解决方案1】：

作为提示，请尝试添加更多术语。假设你的函数满足

T(n) ≥ k₁n log n + k₂n + k₃

现在，当您插入 n = 1 时，可以通过适当设置 k₂ 和 k₃ 使右侧非零。这种技术在对上限和下限函数使用归纳法时很常见并且很有效，因为这些低阶项与大 O 表示法无关，并且可以优雅地处理较小的情况。

【讨论】：

所以，如果这样做，我想我可以按照“T(1) = k >= cn, for all k >= c > 0”这样说，然后显示“T(n /3) + T(2n/3) + kn >= cn" 正如我最初尝试的那样。我仍然想知道：显示一个函数具有 Omega(nlogn) 的下限是否证明它不是 O(n)？
不，你不会那样做。相反，您将归纳证明 T(1) >= k2 + k3 对于 k2 和 k3 的某些选择，然后证明 T(n/3) + T(2n/3) + n >= k1 n log n + k2 n + k3 在 T(n/3) = k1 (n/3) log(n/3) + k2 (n/3) + k3 和 T(2n/3) = k1 (2n/3) 的归纳假设下) 对数 (2n/3) + k2 (2n/3) + k3。当你这样做时，你会发现有一些常数 k1、k2 和 k3 使这个工作有效，但你必须小心。另外，是的，您最初证明该函数是 Omega(n log n) 的想法确实证明了它不是 O(n);区别在于包括低阶项。