通过归纳证明递归关系

Question

我有一个测试即将到来，我需要一些练习题的帮助...需要通过归纳来证明这一点：

---

递归关系：m(i) = m(i-1) + m(i - 3) + 1, i >= 3 初始条件：m(0) = 1, m(1) = 2, m(2) = 3

证明 m(i) >= 2^(i/3)

---

这是我目前能够做到的：

基本情况： m(3) >= 2 -----> 5 >= 2。因此它适用于基本情况。

归纳假设假设有一个 k 使得 m(k) >= 2^(k/3) 成立。

现在我必须证明它对 k+1 成立。

所以我们有：m(k+1) >= 2^((k+1)/3)

等于（通过替换假设）：

m(k) + m(k-2) + 1 >= 2^((k+1)/3)

这就是我卡住的地方。我不知道从这里去哪里。任何帮助将不胜感激。谢谢大家！

Answer 1

提示：

1. 证明 m(k) >= m(k-2)。 （这是微不足道的。）

2. 由于 m(k+1) = m(k) + m(k-2) + 1，可以将= 替换为>= 得到m(k+1) >= m( k) + m(k-2) + 1.

3. 您可以在>= 的右侧进行替换，只要您输入的内容小于或等于您取出的内容。首先使用 #1 在 #2 中进行替换。

Answer 2

考虑您的基本情况：您证明对于 m(0)、m(1) 和 m(2) 的 3 个先前连续给定值，该公式适用于 m(4)。然后证明 m(k+1) 公式有效，如果您假设 3 个先验值 m(k)、m(k-1) 和 m(k-2) 为真[这对归纳有效]。

按初始条件

m(k+1) = m(k) + m(k-2) + 1

替换：

m(k+1) >= 2^(k/3) + 2^((k-2)/3) + 1

用 2^((k+1)/3) 计算右侧的因子 [提示：不要理会 +1]，它应该从那里掉出来。