通过归纳证明多项式 Big-Theta？

Question

我了解 big theta、big oh 和 big omega 的概念。我只是很难证明这一点。自从我做归纳以来已经很长时间了，所以我很确定我只是生疏了，缺少一些简单的东西。

例如..我需要帮助的问题是表明5n² - 6n = Θ(n²)。

我已经得到了问题的 Big-Oh 部分（我分别做 big-Oh 和 Ω 正确吗？）到：

6k² >= 5n² - 6n

和大的欧米茄部分：

5n² - 6n >= n²

....但是我该去哪里呢？！我从归纳中回忆起……我认为这些是真的，现在为每个n 插入(n+1) 并且……做.. 什么？在这一点上，我迷失了自己。

Answer 1

要证明 5n^2-6n 是 O(n^2)，你必须证明这个陈述 5n^2-6n = n0，对于某个数字 n0 和常数 c。

归纳证明包括证明基本案例的主张和证明归纳步骤。在我们的示例中，我们可以看到基本情况，当 n = 1 时，对于某个常数 c 显然成立。

对于归纳步​​骤，我们假设某个数字 k 的断言是正确的，并使用它来证明该断言对于 k+1 是正确的。所以我们假设 5k^2-6k

5(k+1)^2 - 6(k+1)  = 5k^2 +10k + 5 -6k - 6
                   = 5k^2-6k + 10k -1        
                  <= ck^2 + 10k - 1
                  <= ck^2 + c*2k + c       (for any constant c  >= 5)
                   = c(k+1)^2

这证明了 k+1 的声明并完成了证明。

您可以用类似的方式证明 Omega 的大主张。