【发布时间】：2020-05-01 23:55:11
【问题描述】：
问题如下：证明每一个k次多项式，p(n) = a_k n^k + a_k-1 n^k-1 +... + a_0 with a_k> 0，都属于theta( n^k)。
我不确定从哪里开始。
【问题讨论】：
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将 n^k 画为一个因子，并确定另一个因子是 Θ(1)。
标签： algorithm discrete-mathematics
【发布时间】：2020-05-01 23:55:11
【问题描述】：
为了证明每个 k 次多项式都是 O(n^k)，我们必须证明存在常数 n0 和 c，使得对于 n > n0，a_k n^k + a_k-1 n^k-1 + … + a_0
为了证明每个 k 次多项式都是 Omega(n^k)，我们必须证明存在常数 n0 和 c，使得对于 n > n0，a_k n^k + a_k-1 n^k-1 + … + a_0 >= c * n^k。为了证明这一点，取 c = a_k / 2。然后我们可以从两边减去 a_k/2 n^k 得到 a_k/2 n^k + a_k-1 n^k-1 + … + a_0 >= 0。这多项式至多有 k 个实根；令 n0 为多项式的最大实根。然后，对于所有 n > n0，多项式必须保持非负或非正。假设它仍然是非正数。然后 a_k/2 n^k
因为每个多项式同时为 O(n^k) 和 Omega(n^k)，因此它也是 Theta(n^k)。
【讨论】：
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我刚刚重读了标题并意识到您要求的是归纳证明。如果我没有使用归纳法的回答没有帮助，请告诉我，我会删除它。