如何在给定距离的任意垂直线上找到3-D点

Question

我有一条线 AB。我想画一条线BC，垂直于AB。我知道点 A 和 B 的 xyz，我也知道 B 和 C 之间的距离 N。如何找到适合给定参数的任意点 C？计算应在 3-D 中完成。任何垂直于AB的点都可以是点C，如果它到B的距离等于N。

这里给出了一个几乎相同的问题，但我想知道在 3-D 中如何完成同样的事情：How do you find a point at a given perpendicular distance from a line?

上面的链接中给出了适用于我的二维计算：

dx = A.x-B.x
dy = A.y-B.y
dist = sqrt(dx*dx + dy*dy)
dx /= dist
dy /= dist
C.x = B.x + N*dy
C.y = B.y - N*dx

我尝试像这样添加 Z 轴：

dz = A.z - B.z 
dist = sqrt(dx*dx + dy*dy + dz*dz) 
dz /=dist 
C.z = .... at this point it becomes a mystery to me

如果我将“C.z - N*dz”之类的东西放入 C.z 中，距离仅在某些旋转角度上是准确的，我想知道正确的解决方案。我可以想象，在 3-D 中，它的计算方式完全不同。

澄清

• C 点不是唯一的。它可以是 circle 上的任意点，其 以 B 为中心，以 N 为半径。圆垂直于 AB

Answer 1

如果所需的点 C 可以是满足您要求的无限多点中的任何一个，这里有一种方法。

选择任何与向量 AB 不平行或反平行的向量。您可以尝试使用向量(1, 0, 0)，如果它是并行的，您可以改用(0, 1, 0)。然后取向量 AB 和所选向量的叉积。该叉积垂直于向量 AB。将该叉积除以其长度，然后乘以所需的长度 N。最后将该向量从 B 点延伸以找到所需的 C 点。

这是遵循该算法的 Python 3 中的代码。这段代码有点非pythonic，以便更容易转换为其他语言。 （如果我真的为自己这样做，我会使用 numpy 模块来完全避免坐标并缩短此代码。）但它确实将点视为 3 个值的元组：许多语言将要求您分别处理每个坐标。任何现实生活中的代码都需要检查“接近零”而不是“零”，并检查sqrt 的计算结果是否为零。我会把这些额外的步骤留给你。询问您是否还有其他问题。

from math import sqrt

def pt_at_given_distance_from_line_segment_and_endpoint(a, b, dist):
    """Return a point c such that line segment bc is perpendicular to
    line segment ab and segment bc has length dist.

    a and b are tuples of length 3, dist is a positive float.
    """
    vec_ab = (b[0]-a[0], b[1]-a[1], b[2]-a[2])
    # Find a vector not parallel or antiparallel to vector ab
    if vec_ab[1] != 0 or vec_ab[2] != 0:
        vec = (1, 0, 0)
    else:
        vec = (0, 1, 0)
    # Find the cross product of the vectors
    cross = (vec_ab[1] * vec[2] - vec_ab[2] * vec[1],
             vec_ab[2] * vec[0] - vec_ab[0] * vec[2],
             vec_ab[0] * vec[1] - vec_ab[1] * vec[0])
    # Find the vector in the same direction with length dist
    factor = dist / sqrt(cross[0]**2 + cross[1]**2 + cross[2]**2)
    newvec = (factor * cross[0], factor * cross[1], factor * cross[2])
    # Find point c such that vector bc is that vector
    c = (b[0] + newvec[0], b[1] + newvec[1], b[2] + newvec[2])
    # Done!
    return c

命令的结果输出

print(pt_at_given_distance_from_line_segment_and_endpoint((1, 2, 3), (4, 5, 6), 2))

是

(4.0, 6.414213562373095, 4.585786437626905)