在曲线上找到沿曲线到另一点给定距离的点答案

【问题标题】：Find the point on a curve a given distance along the curve from another point在曲线上找到沿曲线到另一点给定距离的点
【发布时间】：2019-12-16 14:32:50
【问题描述】：

我试图在曲线上找到一个点“p2”，它距离点“p1”有“d”。

曲线是二次公式ax^2 + bx + c = y
点 p1 在曲线上，假设是 (p1x, p1y)
点 p2 在曲线上，但我们只知道它与 p1 的“沿曲线”距离，即“d”。曲线上的距离可以通过积分'(1+(2*a*x+b)^2)^(1/2) dx'来计算。在这里，从 p1x 到 p2x 的积分'(1+(2*a*x+b)^2)^(1/2) dx' 期望具有给定的数字 k。 p2x 未知。

我一直在使用循环来寻找点。

from scipy import integrate

def integral(a, b, c, p1x, distance_between_p1_and_p2):
        x = lambda x:(1+(2*a*x+b)**2)**(1/2)
        best_i=0
        p2x=0
        for points_on_curve in range(int(p1x*1000),int((p1x+0.15)*1000),1):
                i,j  = integrate.quad(x,p1x,points_on_curve/1000)
                if abs(i-distance_between_p1_and_p2)<abs(best_i-distance_between_p1_and_p2):
                        best_i=i
                        p2x=points_on_curve/1000
        return p1x+p2x

这里的问题是需要很长时间，因为它从p1x开始并稍微增加值，计算从p1到潜在p2的长度，看看它是否比上一个更接近目标distance_between_p1_and_p2。

会有更好的编程方式吗？

【问题讨论】：

对不起，我忘了放图书馆。我只知道集成在 scipy 中，所以我使用了它。当范围未知时，我不确定 scipy 能否找到它。
如果我能做 sqrt(1 + (2*a*x + b)^2) dx 的无限积分，我也许能做到，但我解决不了。跨度>
请参阅this Wikipedia article 中的“寻找曲线的弧长”，并求解您的曲线类别的解析形式
嗨 Linuxios，这个公式让我有 sqrt(1 + (2*a*x + b)^2) dx.. 我被困在这里试图进行无限集成。
一个想法是，拥有被积函数，对端点空间进行一种二分搜索，在每个端点进行数值积分并检查弧长与所需值的接近程度。虽然我觉得积分可能是可以解决的......也许在 Math.SE 上问一下？

标签： python scipy sympy curve numerical-integration

【解决方案1】：

我一直在努力，我找到了两个解决方案。

首先，我使用了 sympy.geometry.curve

from sympy.geometry.curve import Curve
x = sp. Symbol('x')
a = sp. Symbol('a')
b = sp. Symbol('b')
c = sp. Symbol('c')
start = sp. Symbol('start')
end = sp. Symbol('end')
print('length')
print(Curve((a*x**2+b*x+c, x), (x, start, end)).length)

我把它作为输出。

(end + b/(2*a))*sqrt(4*a**2*(end + b/(2*a))**2 + 1)/2 - (start + b/(2*a))*sqrt(4*a**2*(start + b/(2*a))**2 + 1)/2 + asinh(2*a*(end + b/(2*a)))/(4*a) - asinh(2*a*(start + b/(2*a)))/(4*a)

在这里，我可以使用方程式。

from sympy import solve, sqrt, asinh, nsolve
end = sp.S('end')
a = -1
b = 0
c = 4
w3 = 1
length = 2

eq = sp.Eq((end + b/(2*a))*sqrt(4*a**2*(end + b/(2*a))**2 + 1)/2 - (w3 + b/(2*a))*sqrt(4*a**2*(w3 + b/(2*a))**2 + 1)/2 + asinh(2*a*(end + b/(2*a)))/(4*a) - asinh(2*a*(w3 + b/(2*a)))/(4*a),length)

我找到了两种解方程的方法。

使用 nsolve。即使我有两个答案，这也只能给出一个答案。例如，如果有两个答案（a+sqrt(b)、a-sqrt(b)），我猜这只会给出一个更接近预期值_to_start_search_answer 的答案。

打印(sp.nsolve(eq, expected_value_to_start_search_answer))
使用求解。这给出了所有可能的答案，但它比第一个选项慢。

sol = 求解(eq,end) 打印（溶胶）

【讨论】：

【解决方案2】：

您的目标点x, y 位于抛物线以及围绕 p1 的圆上，换句话说，都满足方程

a x^2 + b x + c = y
(x - p1x)^2 + (y - p1y)^2 = r^2

您可以通过将第一个方程中的 lhs 插入第二个方程来简单地消除 y，然后求解得到的二次方程为 x。

【讨论】：