我遇到了两个稍微不同的 big-oh 定义，需要证明它们彼此等价：
定义 1： f(n) = O(g(n)) 如果存在常数 c 和 N 使得 f(n) ≤ c g(n) 对于所有 n > N。
定义 2： f(n) = O(g(n)) 如果存在一个常数 c 这样 f(n) ≤ c g(n) 对于所有 n≥1。
直觉上我知道，如果我们选择足够大的 c，我们可以像定义 2 中那样摆脱 N。 但是如何证明定义1蕴涵定义2，反之亦然。
【问题讨论】：
它们实际上并不等价，并且 (1) 是正确的定义。
差异的一个例子是，在 (1) 下，n = O(n log(n)) 但在定义 (2) 下，它不可能是因为在 n=1，因为对于任何 c，c g(n) = c*1*log(1) = 0 < 1。
(1) 是正确定义的原因是因为 big-O 的目的是捕捉“接近无穷大”的行为，因此应该忽略小 n 的有限数量的特殊情况。
您会看到 (2) 出现的原因是因为它足以建立大 O。只是没有必要。
【讨论】：
g(n)>0 对于n 的所有值，等价性成立。其实选择c'=max(f(1)/g(1), ..., f(N)/g(N), c)就够了。
让我更好地解释我对@btilly 的回答的评论。
当g(n)>0 用于n 的所有值时，两个定义实际上是等价的。原因如下：
首先，当定义 2 成立时，定义 1 也成立。其实这种情况下我们可以选择N=0。
现在假设对于某个常数c 和某个数字N 满足定义1。如果N=0，我们有定义2。如果N>0，考虑以下数量：
c1 := max{f(1)/g(1), ..., f(N)/g(N)}
商是有意义的，因为我们处于g(n) 始终为正的情况。此外，由于
f(n)/g(n) <= c1 (1<=n<=N)
我们得到
f(n) <= c1*g(n) (1<=n<=N)
因为f(n) <= c*g(n) 对应n>N，所以发生了这种情况
f(n) <= max(c1,c)*g(n) for all n
按照定义 2 的要求。
【讨论】：