使用 big-O 证明 N^2 是 O(2^N)答案

【问题标题】：Using big-O to prove N^2 is O(2^N)使用 big-O 证明 N^2 是 O(2^N)
【发布时间】：2012-07-12 06:20:00
【问题描述】：

我可以清楚地看到 N^2 以 c2^N 为界，但是我如何通过使用 big-O 的正式定义来证明它。我可以简单地用 M.I. 来证明它。

这是我的尝试.. 根据定义，对于任何 n>n0，存在一个常数 C f(n)

我应该把 log 带到两边并解决 C 吗？

还有一个关于斐波那契数列的问题，我想解决递归关系。

int fib(int n){
   if(n<=1) return n;
   else return fib(n-1) + fib(n-2);

等式是..

T(n) = T(n-1)+T(n-2)+C // where c is for the adding operation

所以

T(n) = T(n-2) + 2T(n-3) + T(n-4) + 3c

还有一个

T(n) = T(n-3) + 3T(n-4) + 3T(n-5) + T(n-6) + 6c

然后我开始迷路以形成一般方程 i 该模式有点像帕斯卡三角形？

 t(n) = t(n-i) + aT(n-i-1) + bT(n-i-2) + ... + kT(n-i-i) + C

【问题讨论】：

标签： big-o proof

【解决方案1】：

正如您所指出的，要查看是否 f(x) ϵ O(g(x)) 您需要找到...

使得 f(x) 对于所有 x > x₀。

在这种情况下，您可以选择 c = 1 和 x₀ = 2。你需要证明的是

x²x 对于所有 x > 2

此时你可以记录双方（因为如果log(x) > log(y)，那么x > y。 ) 假设您使用的是 base-2 日志，您会得到以下结果

log(x²) x)

根据标准的对数定律，你得到

2·log(x)

因为 log(2) = 1 这可以写成

2·log(x)

如果我们设置 x = 2，我们得到

2·log(2) = 2

并且由于 x 比 log(x) 增长得更快，我们知道 2·log(x) 适用于所有 x > 2.

【讨论】：

【解决方案2】：

在大多数情况下，接受的答案（来自 aioobe）是正确的，但需要进行重要的更正。

是的，对于 x=2，2×log(x) = x 或 2×log(2) = 2 是正确的，但随后他错误地暗示了2×log(x) 对所有 x>2 都为真，但不是真的。

我们取 x=3，所以方程变为：2×log(3) （一个无效的方程）。

如果你计算这个，你会得到：2×log(3) ≈ 3,16993，它大于 3。

如果您绘制 f(x) = x² 和 g(x) = 2^x，您可以清楚地看到这一点 或者如果你绘制 f(x)= 2×log(x) 和 g(x) = x（如果 c=1）。

在 x=2 和 x=4 之间，您可以看到 g(x) 将低于 f(x)。只有当 x ≥ 4 时，f(x) 才会保持 ≤ c×g(x)。

所以要得到正确的答案，你按照 aioobe 的答案中描述的步骤，但是你绘制函数来获得 f(x) = c×g(x )。该交点处的 x 是您的 x₀（连同选择的 c），满足以下条件：f(x) ≤ c×g(x ) 对于所有 x ≥ x₀。

所以对于 c=1 它应该是：对于所有 x≥4，或 x₀=4

【讨论】：

【解决方案3】：

改进已接受的答案：

你必须证明 x^2 2

取双方的log，我们要证明： 2·log(x) 2

因此我们必须对所有 x>2 显示函数 h(x)=x-2·log(x)>0

h(2)=0

h(x) 对 x 微分，我们得到 h'(x)= 1 - 1/(x·ln(2))

对于所有 x>2，h'(x) 总是大于 0，因此 h(x) 不断增加，并且由于 h(2)=0，因此证明，对于所有 x > 2，h(x) > 0，或 x^2 2

【讨论】：