【发布时间】：2022-06-16 18:14:07
【问题描述】：
我的解决方案只是需要帮助，我不确定它是否正确。我的解决方案如下： 让我们假设存在这样的n。让我们也称这个嵌套的立方根为 S。所以我们可以假设对于某个自然数 m，S=m。在双方多次立方并玩弄这些术语之后，我们可以得出结论 n 必须是一个完美的立方体（thirdroot(n) = (m^3 - n)^3 - n 这是一个整数，甚至是一个自然数） .所以现在我们可以说对于某个自然数 x，n=x^3。将其代入方程 S=m 我们得到 x^3 - x 也必须是一个完美的立方体（thirdroot(x^3+x) = m^3 - x^3 这又是一个自然数） .
现在我们可以假设存在一个自然数 y，使得 x^3 + x = y^3。从这里我们可以很容易地得出结论（因为 x 和 y 都是自然的）y>x。
通过分解前面的等式，我们得到：x = (y-x)(y^2 + xy + x^2)。现在，通过使用 AG 不等式，我们得到：y^2 + xy + x^2 >= 3xy，将其代入上面的等式后，我们得到：x >= 3xy(y-x)。在两边都取消 x 之后（我们可以这样做，因为 x 是自然的），我们得到：0 >= 3y(y-x)。但这不可能是因为 y>x，而 y 是自然的。矛盾！
因此，我们证明不存在满足问题的n。
【问题讨论】：
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标签： algebra