这些算法的严格渐近运行时间（Big Theta）是多少？

Question

问题 1

 public void guessWhat1(int N){
  for (int i=N; i>0, i=i/2){
  for (int j=0; j<i*2; j+=1){
  System.out.println(“Hello World”);
  }
 }
}

第一个循环将运行 log(n)。 第二个循环将为 log(n) 运行。

上限是 O(log^2(n)。Big Θ 是多少？

问题 2

 public void guessWhat2(int N) {
 int i=1, s=1;
 while (s<=N) {
  i += 1;
  s = s + i;
 }
}

这个的上限是 O(n)。我不太确定 Big Θ。

如果有人能澄清这些，那就太好了。谢谢你

Answer 1

让我们先弄清楚符号的定义。

Big O：表示算法的上限。

Big Theta：表示算法的平均界限。

第一个问题

public void guessWhat1(int N){
  for (int i=N; i>0, i=i/2){
  for (int j=0; j<i*2; j+=1){
  System.out.println(“Hello World”);
  }
 }
}

对于i=N，内循环运行2N次，i=N/2内循环运行N次，对于i=N/4内循环运行N/2次..... 所以总复杂度 = O(2N+N+N/2+N/4+...+1) 这等于 O(N(2+1+1/2+1/4+....1/N))= O(N(3+1/2+1/4+....1/ N))

N(3+1/2+1/4+....1/N) = N( 3 + 1 - (0.5)^logN ) = O(N(4-1/N)) = O(N) 所以复杂度是 O(N)，即使在 theta 表示法中，它与上述循环相同的 N 在所有情况下都需要相同的时间。

关于你的第二个问题

public void guessWhat2(int N) {
 int i=1, s=1;
 while (s<=N) {
  i += 1;
  s = s + i;
 }
}

while 循环需要 O(sqrt(N))。同上，这里的 theta 符号也将与大 O 符号相同，即 sqrt(N)。

如果输入有多种情况，theta 表示法与大 O 不同。让我们以插入排序 https://en.wikipedia.org/wiki/Insertion_sort 为例，其中 N 是输入数组的大小。如果输入数组已经排序，则需要线性时间，但如果输入数组是反向排序的，则需要 N^2 时间对数组进行排序。

所以在这种情况下，对于插入排序，时间复杂度是 O(N^2)。

最好的情况是 theta(N)，最坏的情况是 theta(N^2)。