求解运行时间 Big Theta 表示法

Question

考虑在这两个循环中找到作为 n 函数的总运行时间：

(1)

q  <- 1
while q <= n
     p  <- 1
          while p <= q 
           p <- p + 1
     q  <-  2 * q 

(2)
q,s <- 1, 1
while s < n
    for j <- 1 to s        
          k  <- 1
          while k < = j  
                 k  <- 2 * k        
     q  <- q + 1
     s  <- q * q  

脱离我所知道的我所相信的： (1) 是 theta(n * lg(n)) 其中 n 表示内部循环的时间，并且 lg(n) 用于外循环。 (2) 是 theta(n * lg(n) * sqrt(n)) 其中 n 表示 for 循环的时间， sqrt(n) 用于外部循环，lg(n) 用于内部 while 循环。

我不确定这是否正确。任何建议将不胜感激。

Answer 1

(1):

这不是正确的看待这个的方式，其实内部while-loop不做“n循环lg n次”，它做了q循环不管这个数字可能是每次迭代！

分析这个的正确方法是说内部while循环运行q次，q取数字1, 2, 4, ... , n（是的，out while循环运行Θ(lg n)次）。

因此整个运行时间为：

1 + 2 + 4 + ... + L 请注意，如果 n 不是 2 的完美幂，它会上升到小于 n 的最大幂。因此我们可以说它一直运行到它到达n (L = Θ(n))

计算这个给我们一个几何级数与 lg(n) 元素：

1 + 2 + 4 + ... + n = Θ(n)

(2):

不是最终解决方案，而是提示/启动 通过说for-loop 运行~n 次，您的分析仍然是错误的，这个循环只是运行s 次，而s 每次迭代都在变化。在迭代 t 时，我们有 s = t^2。

分析如下： for-loop 和它的内部 while-loop 是相关的，j 从 1-s 运行，while 循环运行 lg(j) - 它们是相关的，因为 j 在 for-loop 的每次迭代中都会更改。但我们需要记住，s 也在发生变化，因此 for-loop 运行 s ∈ {1, 4, 9, ..., n}