渐近时间复杂度、Big oh 和 Theta 分析。这是一个技巧问题吗

Question

问题来了：

考虑如下排序算法： I. 将给定的输入 A[1], A[2], ..., A[n] 以给定的顺序插入到二叉搜索树 T 中，从一棵空树开始；二、对 T 进行中序遍历，以非降序输出元素。 (a) 算法的最坏情况时间是多少？ (b) 算法的最佳案例时间是多少？

我的回答：

我在t(n) = 2(n/2) + n 中创建了一个 BST，因为我们必须遍历每个单独的元素，然后我还在 t(n) = 2(n/2) + n 中打印出 BST 顺序，因为我们必须再次遍历每个元素。然后我将时间复杂度以t(n) = 4(n/2)+2n 结尾。

按照Master的方法，符合案例一，设为θ(n^2)。如果是θ(n^2)，这将回答问题的 a 和 b。我不明白怎么会有更好的表现，或者在那种情况下表现更差。

这是一个棘手的问题吗？

Answer 1

简答：

您添加了两个方程的 RHS，但没有添加 LHS - 它应该是 2T(n)。

当然，T(n) 的口头描述是“时间复杂度函数”，但是 什么？在这种情况下，它应该是或者 BST创建或按顺序遍历的时间复杂度，而不是两者一起。

所以最终结果是2T(n) = 4T(n/2) + 2n。取消2，得到O(n log n)。

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tl;博士回答：

但是等等，为什么n log n 也用于遍历？只有n 元素，对吧？

通过将问题分成相等的两半T(n/2)，您隐含地假设树在每次插入后都是平衡。对于简单的非自平衡 BST 树实现，情况并非总是如此。如果树向一侧“倾斜”，则插入可能与O(n) 一样多（即O(n^2) 构造）。

幸运的是，对于最常用的自平衡树类型，例如红黑和AVL，插入保证O(log n)或以下。因此，树构造的正确递归关系是T(n) = T(n - 1) + log n，结果是O(n log n)（斯特林方程）。

尽管如此，任何 BST 的遍历，无论是否平衡，都是O(n)，因为只有n 元素。这意味着您的遍历递归关系是错误的 - 它应该是 T(n) = 2T(n/2) + 1，因为每个节点只完成了 O(1) 工作。