指数函数的大 O 表示法答案

【问题标题】：Big O Notation Of Exponential Functions指数函数的大 O 表示法
【发布时间】：2013-09-29 18:26:16
【问题描述】：

我注意到 1000n 或 10n 的 big-O 与 O(n) 相同，但 2^n 和 3^n 的 big-O 不同：O(2^n) 和 O(3^ n)，我不明白为什么我们不能忽略这种情况下的常数（2 或 3）以及是否有任何数学证据证明这一点？

【问题讨论】：

标签： algorithm

【解决方案1】：

因为对于任意大的n，没有满足不等式3^n <= k * 2^n 的k 的常数值。因此f(n) = 3^n 不是O(2^n) 的成员。

【讨论】：

确切地说，您正在展示O(3^n) = O(2^n) 声明的反例。特别是，f(n) = 3^n 在O(3^n) 中，但不在O(2^n) 中，使用您上面给出的参数。因此，通过外延公理，集合不相等
@roliu：我不知道那个公理是什么，但是是的，这是隐含的论点；）
这是最流行的集合论中的一个公理，ZFC：en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory。它只是说“如果两个集合包含相同的元素，则它们是相等的”。没有人在真实的证明中引用它，但我只是试图说服 SO 开始使用实际的数学推理而不是直觉（通过使用数学术语非常冗长）。如果您只是想在编写代码时决定使用哪个实现，您可以使用直觉。当有人说“证明这一点”时，我认为你应该，你知道，使用数学 :)
@roliu：嗯，我想这里的大多数人都会满足于“如果两个集合没有相同的成员，则它们是不相等的”，而无需求助于证明/行话！集合论公理可能有点超出 SO 的范围（与 CS/Math StackExchange 不同）。但是感谢您的链接，我总是有兴趣学习一些有趣的数学......
（并且......七个月后，我通过不同的途径提出了同样的问题，专门寻找@rliu 提供的信息。猜猜它只是显示出来。）

【解决方案2】：

尽管对于最初的提问者来说，这可能不再有用，
我认为可以以更简单的方式处理它。

O 表示法的基本定义：当且仅当 f(g) 在 O(g(n)) 中时，
那么存在一个有理数 c，它认为 f(g) = c * g(n)，因为 n >= n0
（n0 是你自己选择的数字）

让我们尝试将其应用于 O(2^n) 中的 3^n
3^n = 2^n * c
3^n = 2^ n * (3^n / 2^n)
3^n = 2^n * (3/2)^n
3^n = 2^n * 1.5^n

这意味着 c = 1.5^n 这不是一个有理数，而是一个指数函数。

另一方面，在 O(2^n) 中对 3^n 进行相同操作，我们将得到 2^n

这似乎是一个冲突，直到你意识到 0.75^n 0，这意味着如果你取任何 c > 1，它将大于 n = 0 的 0.67^n

【讨论】：

【解决方案3】：

为了实现两个复杂性，f(n) 和 g(n)，您应用了限制： lim_{n->\inf} f(n)/g(n) 你有三个可能的答案：

1) lim_{n->\inf} f(n)/g(n) = 0; 这意味着 f(n) ∈ O(g(n)) 和 g(n) ∉ O(f(n))

2) lim_{n->\inf} f(n)/g(n) = +/- inf; 这意味着 f(n) ∉ O(g(n)) 和 g(n) ∈ O(f(n))

3) lim_{n->\inf} f(n)/g(n) ∈ 实数；这意味着 f(n) ∈ O(g(n)) 和 g(n) ∈ O(f(n))

然后到 demostrade 2^n ∈ O(3^n) 你这样操作

lim_{n->\inf} 2^n/3^n = lim_{n->\inf} (2/3)^n = 0

并且被演示了，我们也演示了 3^n ∉ O(2^n)，很容易看出 2/3 inf} a^n = 0 if 0 inf} a^n = inf if a > 1;

为了更好地理解检查：Introduction to Algorithms, Third Edition 作者：Thomas H. Cormen、Charles E. Leiserson、Ronald L. Rivest 和 Clifford Stein

我是算法教授，希望对你有所帮助。保重。

【讨论】：