确定函数的复杂性（大 O 表示法）

Question

我在期中遇到了这个问题，我不确定我的答案是 O(n^2) 我想要有解释的答案，谢谢。

int recursiveFun1(int n)
{  for(i=0;i<n;i+=1) 
      do something;                                                                 
    if (n <= 0)
    return 1;
else
    return 1 + recursiveFun1(n-1);}

Answer 1

首先，我将您的代码另加缩进

int recursiveFun1(int n)
{  
  for(i=0;i<n;i+=1) // this is bounded by O(n)
    do something; // I assume this part is O(1)

  if (n <= 0)
    return 1;
  else
    return 1 + recursiveFun1(n-1);
}

首先要说的是，每次recursiveFun1()被调用O(n)都是因为for而付费。虽然n在每次调用时都会减少，但时间仍以O(n)为界。

第二件事是计算recursiveFun1() 会被调用多少次。显然（对我来说）它将被准确地调用 n + 1 次，直到参数 n 达到零值。

所以时间是n + (n-1) + (n - 2) + ... + 1 + 0，即((n+1)n)/2，即O(n^2)。

Answer 2

用R(n) 表示输入n 的此递归函数的执行时间。然后，如果n 大于 0，它会执行以下操作：

• n 次 do something - 假设“某物”具有恒定的运行时间，它会消耗 c1*n 时间
• 各种支票和簿记工作-恒定时间c2
• 计算输入n-1 - 一次。这个的运行时间是R(n-1)（根据定义）

所以

R(n) = c1*n + c2 + R(n-1)

这个方程有一个解，即O(n^2)。您可以通过归纳来证明它，或者只是通过猜测a*n^2 + b*n + c 形式的解决方案。

注意：我假设“做某事”具有恒定的运行时间。这似乎是合理的。但是，如果它不是真的（例如它包含一个递归调用），那么您的复杂性将会更大 - 可能会更大，这取决于“某事”在做什么。