某些函数 f(n) 的 Big-Oh 升序

Question

将这些函数按 n 的升序排列： 2^((log n)^0.5), 2^n, 2^(n/2), n^(4/3), n(log n)^3, n^(log n), 2^(n ^2)，嗯！

Answer 1

部分答案：2^((log n)^0.5), 2^(n/2), 2^n, n!, 2^(n^2)。

还需要把这些：n^(4/3), n(log n)^3, n^(log n)

Answer 2

解决这个问题的方法是查看当n 接近无穷大时哪个函数最快接近无穷大。假设你有一些函数：

f(n) = n!
g(n) = n
h(n) = 3^n

当n 接近无穷大时，您可以通过评估它们的比率来比较任意两个函数。例如：

Lim      f(n) /
n->∞         / g(n)

如果结果大于 1，则 f(n) 渐近大于 g(n)。如果结果是 1，那么它们是渐近相同的。如果结果小于一，则f(n) 渐近小于g(n)。

你可能会发现有些很容易解决，比如f(n)和g(n)，你可以简化表达式，得到一个确定的极限值。

    f(n) /       = n! /    = n (n-1)! /   = (n-1)!
        / g(n)       / n             / n

n 趋于无穷这个表达式的极限是无穷大，这意味着 f(n) 渐近大于 g(n)。

其他的表达方式就没那么简单了。如果评估限制给你一个不确定的形式，你需要使用L'Hôpital's rule。

Lim      g(n) /        =  Lim    n /     =  ∞ /
n->∞         / h(n)       n->∞    / 3^n      / ∞

根据 L'Hôpital 的规则，我们可以通过替换 g'(n) 和 h'(n) 来评估限制。

Lim      g'(n) /         =  Lim    1 /           =  1 /
n->∞          / h'(n)       n->∞    / 3^n ln(3)      / ∞

这个限制显然小于 1，所以我们可以说g(n) 渐近小于h(n)。