Big Oh,small Oh 和 Big theta 关系

Question

如果函数 f(x)=O(g(x))，那么有可能 f(x)=Ω(g(x)) 并且 f(x)= ϴ(g(x)) ,但是如果f(x)=o(g(x))，有没有可能是f(x)=Ω(g(x))，或者f(x)=ω(g(x))？

Answer 1

我们给出一些正式的定义：

f(n) = o(g(n))
<=> forall c > 0 exists k > 0 s.t. 0 <= f(n) < cg(n) forall n >= k.
<=> g(n) = ω(f(n))

f(n) = O(g(n))
<=> exists c > 0 exists k > 0 s.t. 0 <= f(n) < cg(n) forall n >= k.
<=> g(n) = Ω(f(n))

f(n) = ϴ(g(n))
<=> f(n) = O(g(n)) and g(n) = O(f(n))

假设f(n) = o(g(n))。问题一：f(n) = Ω(g(n))可以吗？如果是这样，那么必须存在c, k，使得对于所有n >= k，0 <= g(n) < cf(n)。根据假设，我们知道对于所有c'，存在一些k'，因此对于所有n >= k'，0 <= f(n) < cg(n)。让k'' = max(k, k')。我们必须：

0 <= g(k'') < cf(k'')
0 <= f(k'') < c'g(k'')
=> 0 <= g(k'') < cc'g(k'')

这必须适用于c' > 0 的任何选择。我们所知道的c 是存在的。但只要f(n) 和g(n) 严格大于零，我们就知道一定有一个最小的c 有效。让c'' 成为c 在k'' 的最小有效选择。然后我们可以选择c' = 1/c''。因此我们需要

0 < g(k'') < g(k'')

这总是错误的。因此，只要f(n) 和g(n) 不（最终）等于零，我们就不能同时拥有f(n) = o(g(n)) 和f(n) = Ω(g(n))。

由于f(n) = ω(g(n)) 隐含f(n) = Ω(g(n))，并且根据我们的假设，我们知道后者不正确，因此我们也可以安全地回答问题2 是否定的。