当矩阵的所有条目都是变量时，如何在matlab中找出矩阵的特征值？答案

【问题标题】：How to figure out eigenvalues of a matrix in matlab when all entries of matrix are variables?当矩阵的所有条目都是变量时，如何在matlab中找出矩阵的特征值？
【发布时间】：2012-11-28 02:30:44
【问题描述】：

我有一个包含一堆未知常数的矩阵，如下所示：

  a*b     -c     -d     0
   -c      e     -a    -b-d
   -d     -a      d    -e
    0     -b-d   -e     a

你可能意识到它关于对角线对称，因此对角线值都是正的。所有常数都大于 0。

我想为 matlab 中的特征值解决这个问题。我该怎么做呢？我不知道 a、b、c、d 和 e 的值。我想做这样的事情：

d = eig(@getMatrix)

但 eig 函数不接受函数句柄。

【问题讨论】：

我认为您需要符号数学工具箱。如果你有它，那么 eig 函数可以很好地使用符号矩阵作为输入。请参阅文档here
是的，这是一个符号问题，而 MATLAB 是一个数值工具。你需要的是一个计算机代数系统。
您应该在诸如 Maxima 之类的计算机代数系统中执行此操作。 Matlab 不是符号运算的最佳工具。
@ColinTBowers 我如何获得该工具箱？我正在使用预装了 matlab 的学校计算机。我想从他们的网站上看，MATLAB 应该已经有了。如果是这样，我该如何使用它？
@user972276 在 Matlab 命令窗口中键入 ver。这将列出已安装的工具箱。如果符号数学工具箱未列出，但您认为应该列出，则让本地系统管理员知道。关于工具箱的实际使用，恐怕帮不上忙。正如其他几个 cmets 所指出的，Matlab 不是符号数学的好工具。我个人使用Mathematica，但如果我重新开始我的生活，我会使用sage 或maple

标签： matlab eigenvalue function-handle

【解决方案1】：

在 MATLAB 中没有问题。

>> syms a b c d e
>> M = [a*b     -c     -d     0
   -c      e     -a    -b-d
   -d     -a      d    -e
    0     -b-d   -e     a];

>> eig(M)
ans =
 a/4 + d/4 + e/4 + (a*b)/4 - ((51*a*d^3)/16 - (117*a^4*b)/16 + (27*a^3*d)/16 + (27*a*e^3)/16 + (57*b*d^3)/2 + (27*a^3*e)/16 + (27*d*e^3)/16 + (51*d^3*e)/16 + 6*((4*(2*b*d - (a*e)/4 - (a*d)/4 - (d*e)/4 - (a^2*b)/4 + (11*a^2)/8 + b^2 + c^2 + (19*d^2)/8 + (11*e^2)/8 + (3*a^2*b^2)/8 - (a*b*d)/4 - (a*b*e)/4)*((17*a*d^3)/64 - (39*a^4*b)/64 + (9*a^3*d)/64 + (9*a*e^3)/64 + (19*b*d^3)/8 + (9*a^3*e)/64 + (9*d*e^3)/64 + (17*d^3*e)/64 + (45*a^4)/256 + (285*d^4)/256 + (45*e^4)/256 - (a^2*b^2)/16 + (a^2*b^3)/8 + (3*a^2*b^4)/16 + (31*a^4*b^2)/128 + (a^4*b^3)/64 - (3*a^4*b^4)/256 + (3*a^2*c^2)/16 + (15*a^2*d^2)/128 - (9*a^2*e^2)/128 + (19*b^2*d^2)/16 - (b^2*e^2)/16 + (3*c^2*d^2)/16 + (15*c^2*e^2)/16 + 
...

(a*b*c^2*e)/8 + (3*a*b*d*e^2)/64 + (11*a*b*d^2*e)/64 + (a*b^2*d*e)/4 - (33*a^2*b*d*e)/32 - (5*a^2*b^2*d*e)/64 + (a*b*d*e)/4 + (a*c*d*e)/2 - 2*b*c*d*e) - 256*((17*a*d^3)/64 - (39*a^4*b)/64 + (9*a^3*d)/64 + (9*a*e^3)/64 + (19*b*d^3)/8 + (9*a^3*e)/64 + (9*d*e^3)/64 + (17*d^3*e)/64 + (45*a^4)/256 + (285*d^4)/256 + (45*e^4)/256 - (a^2*b^2)/16 + (a^2*b^3)/8 + (3*a^2*b^4)/16 + (31*a^4*b^2)/128 + (a^4*b^3)/64 - (3*a^4*b^4)/256 + (3*a^2*c^2)/16 + (15*a^2*d^2)/128 - (9*a^2*e^2)/128 + (19*b^2*d^2)/16 - (b^2*e^2)/16 + (3*c^2*d^2)/16 + (15*c^2*e^2)/16 + (15*d^2*e^2)/1...

Output truncated.  Text exceeds maximum line length of 25,000 characters for Command Window display.

我在那里删除了很多。诚然，它相当混乱和冗长，但你真的能期待更好吗？

编辑：我应该评论说，就计算准确性而言，如此长的扩展公式可能是危险的。我见过人们盲目地使用如此混乱的表达式，在 Fortran 或 MATLAB 中对其进行评估。他们认为，因为它是“象征性的”，所以它也是准确的。当进行数值计算时，这完全是错误的。

在这些术语中很可能存在巨大的减法抵消，巨大的正项和负项几乎相互抵消，由于浮点计算的动态范围有限，留下一个基本上毫无价值的微小结果。谨防。至少，比较使用相同表达式完成的单精度和双精度计算。如果它们相差很大，请尝试扩展精度版本以验证双打没有问题。如果您没有测试过这样的表达式并对其进行广泛验证，请不要相信它。

【讨论】：