C++ 泰勒级数估计初值微分方程精度答案

【问题标题】：C++ taylor series estimation of initial value differential equation accuracyC++ 泰勒级数估计初值微分方程精度
【发布时间】：2016-03-06 10:24:00
【问题描述】：

我被要求用泰勒级数法估计x(t)'= tx(t) + t^4, x(5) = 3的初值问题。我必须编写代码以使用0<=t<=5 的泰勒级数方法显示估计值。

我被教导从t=0 开始，使用t=0 的初始条件来找到x0，然后通过计算x'', x''', etc 以0.01 递增到t=5 并找到下一个@987654329 @对应t+0.01。

如何在 c++ 中向后执行此过程，如从 t=5 开始并递增到 0 ？

【问题讨论】：

标签： c++ taylor-series

【解决方案1】：

你可以像这样使用while循环：

double t = 5.0;
while (t > 0.0) {
       /* Your Code of Taylor function */
       t = t -0.01;
}

此代码从 t 值 5.0 开始，并在循环的每次迭代中将 t 递减 0.01。当t值达到0.0时循环结束

【讨论】：

我想说的是这是一个递归，它需要前一个术语来计算下一个，我需要术语 1 来找到 2，但如果给定我不知道如何找到术语 1术语 2。在这种情况下，给我 t=5，我需要找到 t=4.99 倒退。
@B.Li 这个解决方案可以满足您的需求。有什么问题？
在估计微分方程答案的泰勒级数中，它是一种递归，其中 xn+1 项在其计算中需要 xn 项。假设我得到 t0 = 1，那么我可以使用 t0 找到 x0，然后使用 x0 找到 x1。如果给我 xn+1 并且我需要找到 xn，我不确定如何回溯这些步骤以在递归中找到上一个术语。
你有泰勒函数的递归代码吗？请发这个帖

【解决方案2】：

这不是问题，您需要专注于解决方案的泰勒展开式，一旦完成，只需计算每个值的函数即可。要找到泰勒展开，您可以在t=5 周围进行，因为您知道x(5)=3，然后您可以直接从微分方程中找到x'(5)，并通过反复对等式两边进行微分来找到后续导数。您会发现 t^4 项最终会消失，其余的将产生一个简单的递归公式。

#include <cstdio>

double c[] = { 3,
               625,
               500,
               300,
               120,
               24 };

double x(double t) 
{
    int j;
    double cc = 0;
    double cp = 0;
    double tj = 1;
    double s = 0;

    for(j=0; j<100; j++) {
        cc = (j-1)*cp + 5*cc;

        if( j < sizeof(c)/sizeof(c[0]) )
            cc += c[j];

        if( j > 0 )
            cc /= j;

        s += cc * tj;
        //printf("[%2d] %f %f\n", j, cc, s);

        tj *= (t-5);
    }

    return s;
}

int main()
{
    double t;

    for( t = 0.0; t<5.005; t+=0.01 )
        printf("%f %f\n", t, x(t));

    return 0;
}

数组c 是由t^4 的初始值和导数产生的项。这些术语在24 之后消失。循环100 次已根据经验找到，因为那时扩展似乎已经收敛。

【讨论】：