使用泰勒级数避免精度损失答案

【问题标题】：Using Taylor Series to Avoid Loss of Precision使用泰勒级数避免精度损失
【发布时间】：2023-03-24 14:58:01
【问题描述】：

我正在尝试使用泰勒级数来开发一种数值合理的算法来求解函数。我已经有一段时间了，但还没有运气。我不确定我做错了什么。

功能是

f(x)=1 + x - sin(x)/ln(1+x)   x~0

另外：为什么这个函数甚至会出现精度损失？当 x 接近于零时，sin(x)/ln(1+x) 甚至不接近与 x 相同的数字。我什至看不出在哪里失去了意义。

为了解决这个问题，我相信我需要对 sin(x) 和 ln(1+x) 使用泰勒展开，它们是

x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

和

x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...

分别。我曾尝试使用相似的分母来组合 x 和 sin(x)/ln(1+x) 分量，甚至将这三个分量组合起来，但最终似乎没有任何效果。任何帮助表示赞赏。

【问题讨论】：

你的泰勒公式看起来不错...问题是你在运行算法时没有得到准确的值，还是你正在寻找一种方法来分解它以便你不根本不需要泰勒级数？
第一个。当正确答案看起来应该是 .9825 时，我不断得到类似 0.000000005 的信息。
呸，我完全是个菜鸟。这就是为什么您不要让计算器处于度数模式的原因。
我认为您的意思是“分别”而不是“尊重”
顺便说一句，当 x 接近于零时，sin(x)/ln(1+x) 实际上确实接近于零。 sin(x) -> x as x -> 0 和 ln(x+1) -> 0 as x -> 0 几乎为零，几乎为零也几乎为零

标签： precision numerical-analysis taylor-series significance

【解决方案1】：

可能会出现精度损失，因为当x ~ 0、ln(1+x) 也接近于 0 时，您最终会除以一个非常小的数字。计算机在这方面不是很擅长；-)

如果您直接对ln(1+x) 使用泰勒级数，那会有点痛苦，因为您最终会被无穷多个项除以。对于这样的情况，我通常更喜欢从定义中计算整个函数的泰勒级数：

f(x) = f(0) + f'(0) x + f''(0) x/2 + f'''(0) x/6 + ...

你会从中得到

f(x) = 2 + 3x/2 - x^2/4 - x^3/24 - x^4/240 - 23x^5/1440 + 31x^6/2880 ...

（我作弊并将其插入 Mathematica ;-) 就像史蒂夫说的那样，这个系列并没有那么快收敛，尽管我目前想不出更好的方法。

编辑：我想我误读了这个问题 - 如果您只想找到函数的零点，那么肯定有比使用泰勒级数更好的方法。

【讨论】：

不，你没看错——我不是在寻找根源，我是在尝试开发一种在编程到计算机中时可以工作的算法。我会尝试刚才提到的为整个函数找到泰勒级数的方法。
其实再看一遍，找到整个函数的序列看起来不是很简单，考虑到 f(0) 不存在。 :\

【解决方案2】：

因为这是家庭作业，所以我只是想在正确的方向上给出一些指示。

解决方案 1

不要使用 Talyor 级数近似，而是尝试简单地使用 root finding algorithm，例如 Newton-Raphson 方法、线性插值或区间二分法（甚至将它们组合起来）。它们非常简单，实现了启动值的选择，根可以很快收敛到精确值。

解决方案 2

如果您出于某种原因确实需要使用泰勒级数近似，那么只需扩展 sin(x)、ln(x) 和其他任何内容。（乘以 ln(x) 以删除您的情况下的分母将起作用）。然后你需要使用某种多项式方程求解器。如果您想要合理的准确度，则需要超越我想象的 3 次或 4 次方，这意味着简单的分析解决方案并不容易。但是，您可能想研究像 Durand-Kerner method 这样的东西来解决任何阶的一般多项式。不过，如果您需要使用高阶项，这种方法只会导致复杂化，所以我肯定会推荐解决方案 1。

希望对您有所帮助...

【讨论】：

【解决方案3】：

我认为你需要看看 ln(x+1) as x -->0 会发生什么，你就会明白为什么这个函数在 x = 0 附近表现不佳。

【讨论】：

【解决方案4】：

我没有仔细研究过这个，但你应该知道，一些泰勒级数收敛得非常非常缓慢。

【讨论】：

【解决方案5】：

直接计算 f 的泰勒级数即可。

Maxima 给我（关于 x=0 的前 4 个术语）：

(%i1) f(x):=1 + x - sin(x)/log(1+x);
                                           - sin(x)
(%o1)                     f(x) := 1 + x + ----------
                                          log(1 + x)


(%i2) taylor(f(x),x,0,4);
                                2    3    4
                           x   x    x    x
(%o2)/T/                   - + -- + -- + --- + . . .
                           2   4    24   240

【讨论】：

【解决方案6】：

所使用的方法是正确的 - 只需确保您的计算器处于弧度模式即可。

【讨论】：