【发布时间】：2020-04-01 11:43:21
【问题描述】：
为了更多地练习 C++，我决定在没有数学库的帮助下做一些基本的数学函数。我做了一个幂和阶乘函数，它们似乎运行良好。但是，我的泰勒级数余弦函数有很多问题。
Wikipedia Cosine Taylor Series
它在 cos(1)、cos(2) 处输出一个很好的近似值，并在 cos(3) 和 cos(4) 处开始失去精度。除此之外，它的答案变得完全错误。以下是 ./a.out 的结果
Input an angle in radians, output will be its cosine
1
Output is: 0.540302
Input an angle in radians, output will be its cosine
2
Output is: -0.415873
Input an angle in radians, output will be its cosine
3
Output is: -0.974777
Input an angle in radians, output will be its cosine
4
Output is: -0.396825 <-------------Should be approx. -0.654
Input an angle in radians, output will be its cosine
5
Output is: 2.5284 <-------------Should be approx. 0.284
这里是完整的源代码：
#include <iostream>
#include <iomanip>
using std::cout;
using std::cin;
using std::endl;
int factorial(int factorial_input) {
int original_input = factorial_input;
int loop_length = factorial_input - 1;
if(factorial_input == 1 || factorial_input == 0) {
return 1;
}
for(int i=1; i != loop_length; i++) {
factorial_input = factorial_input - 1;
original_input = original_input * factorial_input;
}
return original_input;
}
double power(double base_input, double exponent_input) {
double power_output = base_input;
if(exponent_input == 0) {
return 1;
}
if(base_input == 0) {
return 0;
}
for(int i=0; i < exponent_input -1; i++){
power_output = power_output * base_input;
}
return power_output;
}
double cos(double user_input) {
double sequence[5] = { 0 }; //The container for each generated elemement.
double cos_value = 0; //The final output.
double variable_x = 0; //The user input x, being raised to the power 2n
int alternating_one = 0; //The (-1) that is being raised to the nth power,so switches back and forth from -1 to 1
int factorial_denom = 0; //Factorial denominator (2n)!
int loop_lim = sizeof(sequence)/sizeof(double); //The upper limit of the series (where to stop), depends on size of sequence. Bigger is more precision.
for(int n=0; n < loop_lim; n++) {
alternating_one = power(-1, n);
variable_x = power(user_input, (n*2));
factorial_denom = factorial((n*2));
sequence[n] = alternating_one * variable_x / factorial_denom;
cout << "Element[" << n << "] is: " << sequence[n] << endl; //Prints out the value of each element for debugging.
}
//This loop sums together all the elements of the sequence.
for(int i=0; i < loop_lim; i++) {
cos_value = cos_value + sequence[i];
}
return cos_value;
}
int main() {
double user_input = 0;
double cos_output;
cout << "Input an angle in radians, output will be its cosine" << endl;
cin >> user_input;
cos_output = cos(user_input);
cout << "Output is: " << cos_output << endl;
}
根据 Desmos 上的这张图，在五次迭代中，我的函数应该保持精度直到 x > 4.2 左右：
此外，当我将系列设置为使用 20 次或更多迭代时（它会生成越来越小的数字，这应该会使答案更加精确），元素开始表现得非常不可预测。这是带有序列调试器的 ./a.out，以便我们可以看到每个元素包含的内容。输入为 1。
Input an angle in radians, output will be its cosine
1
Element[0] is: 1
Element[1] is: -0.5
Element[2] is: 0.0416667
Element[3] is: -0.00138889
Element[4] is: 2.48016e-05
Element[5] is: -2.75573e-07
Element[6] is: 2.08768e-09
Element[7] is: -7.81894e-10
Element[8] is: 4.98955e-10
Element[9] is: 1.11305e-09
Element[10] is: -4.75707e-10
Element[11] is: 1.91309e-09
Element[12] is: -1.28875e-09
Element[13] is: 5.39409e-10
Element[14] is: -7.26886e-10
Element[15] is: -7.09579e-10
Element[16] is: -4.65661e-10
Element[17] is: -inf
Element[18] is: inf
Element[19] is: -inf
Output is: -nan
谁能指出我做错了什么以及我应该做得更好吗？我是 C++ 新手，所以我仍然有很多误解。非常感谢您花时间阅读本文！
【问题讨论】：
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你需要利用 cos 是一个周期函数的事实。一个sin/cos周期只需要逼近1/4，其他部分可以通过镜像/重复推导出来。
-
您的循环仅计算泰勒展开式的 5 项。虽然这避免了整数溢出（假设是 32 位
int） - 勉强 - 你认为这足以使计算收敛到更大的user_input值吗？如果您要计算泰勒展开式的五个以上项，对于较大的user_input值，您将如何避免在计算的任何步骤中溢出？ [这些问题是提示，需要考虑以解决部分问题，顺便说一句]。
标签： c++ double precision taylor-series