IEEE 754 浮点表示会浪费内存吗？答案

【问题标题】：Is IEEE 754 floating point representation wasting memory?IEEE 754 浮点表示会浪费内存吗？
【发布时间】：2017-04-08 17:16:03
【问题描述】：

我一直认为 double 类型的变量可以存储 2^64 个不同的小数值。（每个位可以有 1 或 0 作为值，因此有 2^64 个不同的值）。

最近我知道 NaN（不是数字）有一个表示形式，其中指数部分是 11111111111，有效数字部分是任何非零值。相反，如果指数部分是 11111111111 并且有效数字部分是 111111......（52 次），那么表示是 NaN 吗？

这不能让我们代表 2^52 多个不同的数字吗？ 2^52 是一个巨大的数字。那么我们不是在浪费宝贵的空间吗？

【问题讨论】：

首先，您的意思是 2^52 - 1。其次，请说明您提问的目的。
2^52 大约是正常数字计数的十分之一。格式必须保持足够简单，以便硬件实现。
是的，价值很小，但仍然不浪费。因为它在非常大的数字中占很小的比例。为了检查值是否为 Inf，他们可能会检查指数是否全为 1，以及尾数是否全为零，可能带有一些 OR 门。所以同样地，对于 NaN，检查尾数是否都是使用 AND 门的，对硬件来说一定不是一个严格的限制，对吧？（只是我的猜测）

标签： floating-point precision ieee-754

【解决方案1】：

IEEE-754 浮点格式的设计考虑了高效的硬件实现。所有特殊输入操作数都可以通过仅检查指数字段来检测，即 all-0（零和非正规）或 all-1（无穷大和 NaN）。因此，对于双精度，只需要一个 11 位的比较器，并且可以在处理器周期的一小部分内执行检查。

为无穷大和 NaN 保留 2048 种可能的指数编码之一并不是特别浪费。请注意，IEEE-754 使用两种不同类型的 NaN：信令 NaN 或 SNaN 在遇到时触发异常，而相当的 NaN 或 QNaN 只是通过计算传播，直到它们出现在人类可消费的最终结果中。尾数字段的最高位区分两种 NaN：对 SNaN 清零，对 QNaN 置位。

此外，IEEE-754 支持，但不需要，NaN“有效负载”的概念，即具有系统或用户定义含义的多个 NaN 编码。例如，“PowerPC Numerics”（Apple 1994）为 Macintosh 系统指定 NaN 小数字段的第 8 到第 15 个最高有效位包含一个 NaN 代码，该代码指示 NaN 的不同来源，例如sqrt() 是非零的负数，log() 是负数，反三角函数的参数无效，例如 asin()。如“Apple Numerics Manual, Second Edition”（Apple 1988）中所述，Apple II 引入的 SANE（标准 Apple 数值环境）已经使用了该概念。

C 和 C++ 标准通过 math.h / cmath 提供标准函数 nan()，可用于以实现定义的方式从字符串参数构造 NaN 有效负载。有关简要说明，请参见例如 here。

【讨论】：

感谢您的回答。首先，我并没有说使用 2048 种可能的指数编码中的 1 种是浪费的。我不是在谈论指数部分。相反，我正在讨论尾数部分（最后 52 位）。所以现在我知道有两种不同类型的 NaN 并且由尾数的 MSB 决定。好吧..我们还没有浪费剩下的 51 位吗？
在我看来，这两条语句说的完全一样：通过 IEEE-754 双精度格式的构造，每个指数编码都与 2**52 尾数编码相关联。如果使用规范 NaN（这将符合 IEEE-754），则将仅使用三个尾数编码，保留指数值为全 1：一个 QNaN、一个 SNaN 和无穷大。重用其他 2*52-3 编码将不再需要将编码 all-1 的指数视为保留，而是将其共享>用于表示有限数.
是的，我明白了。非常感谢@njuffa

【解决方案2】：

换句话说，它可能会浪费 0.048 % 的存储空间，但在更简单的芯片设计和电源效率方面却节省了十倍。我认为这是一笔不错的交易。

这在实践中意味着最大的可表示数字是~

179769313486231570000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 P>

359538626972463140000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 P>

所以这些“浪费”的价值无论如何都不会那么有用。

【讨论】：