我的 IEEE 754 浮点表示有什么问题？答案

【问题标题】：What is wrong with my IEEE 754 floating point representation?我的 IEEE 754 浮点表示有什么问题？
【发布时间】：2016-11-06 08:09:05
【问题描述】：

我在作业中被要求用 IEEE 754 表示法来表示十进制 0.1。以下是我做的步骤：

不过是在线转换器，而这个answer on stack exchange 建议不这样做。他们提出了这个解决方案：

s eeeeeeee mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
0 01111011 10011001100110011001101

区别在于右边的数字 1。为什么不是1100，为什么是1101？

【问题讨论】：

因为四舍五入。由于该数字在二进制中没有有限表示，因此存储了最接近的近似值。

标签： binary floating-point ieee-754

【解决方案1】：

正如 njuffa 在评论中所说，四舍五入是对您看到的差异的解释。转换器通常会生成与您输入的十进制数最接近的浮点值。IEEE 754 标准建议在从一个基数转换到另一个基数时考虑舍入模式（例如从十进制到二进制），默认舍入模式是“到最近”。

最接近 1/10 的两个单精度浮点值是 1.10011001100110011001100×2^-4 和 1.10011001100110011001101×2^-4（低于和高于 1/10 ）。被截断的数字是“11001100…”，表明实际的 1/10 更接近上限而不是下限（如果剩余的数字是“100000000…”，那么实数应该正好在-两者之间）。为此，在取整方式转换时，选择上限值1.10011001100110011001101×2^-4作为1/10到binary32的转换。

【讨论】：

换句话说，在右侧生成更多位是有意义的，然后检查它们的值以查看是否应该舍入以及朝哪个方向。 @GeorgeStop：阅读有关防护、圆形和粘性位的信息。
@RudyVelthuis 我看不出守卫、圆形和粘性位与十进制和二进制之间的转换有什么关系。我们已经讨论过这些转换：这次你能提供一个参考，说明它们应该如何工作吗？
这些是用于舍入的额外位。正如我所说，我会计算更多位并使用这些额外的位（在右侧）进行正确的舍入。有一些公式可以确定何时舍入一个最低有效位，何时不舍入。一个例子：stackoverflow.com/a/8984135/95954.
@RudyVelthuis 我知道这三位是什么。为了足够，最后一个必须根据特殊规则计算（它是“粘性的”），这对于二进制操作数的基本算术运算来说足够好，但我不明白这与之间的转换有什么关系十进制和二进制。您的链接也没有显示它们对此有何用处。
@RudyVelthuis 如果你喜欢一个具体的例子，这里有一个：我有数字 1e-250，我想计算它最接近的 binary64 表示。守卫、圆形和粘性位在计算的哪一点有帮助？