不理解 AVL 树中高度为 h 的 n 个节点的递归公式以显示 h <= 2 log n答案

【问题标题】：Not understanding the recurrence formula of n nodes with a height h in an AVL tree to show h <= 2 log n不理解 AVL 树中高度为 h 的 n 个节点的递归公式以显示 h <= 2 log n
【发布时间】：2015-12-24 00:06:07
【问题描述】：

我知道公式是：n(h) = n(h-1) + n(h-2) + 1

而且我知道它可以简化为：

n(h) = n(h-1) + n(h-2) + 1  
    >= n(h-2) + n(h-2) + 1  
    >= 2n(h-2) + 1
    >= 2n(h-2)

在这一步之后，我不明白这里会出现重复。我正在网上阅读一个证明，他们这样做了：

>= 2n(h-2)
>= 2(2n(h-4))
>= 2(2(2n(h-6)))

我不明白那个块。为什么每一步都乘以 2，为什么每次从高度中减去 2？我无法想象它或其他东西。然后剩下的证明显示：

>=(2^i)n(h-2i)

我了解他们如何根据模式得到答案，并且我可以解决其余的证明，但我不明白如何选择递归模式。我希望我说得通。如果有人能为我澄清这一点，我将不胜感激！

【问题讨论】：

标签： recursion avl-tree recurrence proof

【解决方案1】：

鉴于n(h) >= 2n(h-2) 对所有h，我们也可以对h-2 应用同样的不等式。这会给我们：

n(h-2) >= 2n(h-2-2)

与

相同

n(h-2) >= 2n(h-4).

如果我们现在再次为h-4 应用它（就像我们为h-2 所做的那样），我们得到

n(h-4) >= 2n(h-4-2) = 2n(h-6).

现在我们可以将最后两个不等式替换为第一个：

n(h) >= 2n(h-2) >= 2(2n(h-4)) >= 2(2(2n(h-6)))

等等……

【讨论】：