为什么具有 N 个节点的 AVL 树保持 C<=N/2？

Question

如果 C 表示“独生子”节点的数量（当一个节点的父节点不为 null && 它没有兄弟节点时，该节点称为独生子），为什么我们对每个具有 N 个节点的 AVL 树都有这个: C

Answer 1

考虑高度为 1 的 AVL 树（即仅由根组成）：条件显然成立（N=1，C=0）。

现在考虑高度为 2 的 AVL 树。根可以有 2 个孩子（N=3，C=0），也可以有一个根有一个孩子（N=2，C=1）。因此，该条件也适用于高度为 2 的树。

现在假设，该条件适用于高度为 h (h>=2) 和 h-1 的树，我们证明它也适用于高度为 h+1 的树。我们可以构造一棵高度为 h+1 的树，方法是获取一个新根，其中一个孩子的高度为 h，另一个孩子的高度为 h 或 h-1。这些是保持 AVL 属性不变的唯一允许配置。新根和两个子树的根都不是“唯一的子”节点。因此我们有 N=1+N1+N2 和 C=C1+C2。由于 C1

现在，通过归纳，该条件适用于所有高度的 AVL 树。