N个节点高度≤H的二叉搜索树的根和答案

【问题标题】：Sum of roots of binary search trees of height ≤H with N nodesN个节点高度≤H的二叉搜索树的根和
【发布时间】：2015-08-10 04:02:33
【问题描述】：

考虑所有可以使用前 N 个自然数创建的高度 ≤H 的二叉搜索树。求这些二叉搜索树的根之和。

例如，对于 N = 3，H = 3：有 2 棵以 1 为根的树，1 棵以 2 为根的树和 2 棵以 3 为根的树。

因此，Sum = 2∗(1)+1∗(2)+2∗(3)=10

我试图通过编写一个函数 f(n,h) 来解决这个问题，该函数以某种方式与 f(n−1,h−1) 和 f(n−1,h) 相关，但无法找到解决办法。

注意：所有数字 [1,N] 必须存在于树中且高度应≤H

【问题讨论】：

标签： math binary-search-tree

【解决方案1】：

好的，让我们从基础开始。

使用前 N 个自然数可以创建的 BST 的数量可以很容易地使用以下算法计算出来。

natural_number compute_no_of_BST(N)
{
 if(N<=1)
  return 1;
 else
 {
  left=0,right=0,sum=0;
  for(root = 1 to N)
  {
   left = compute_no_of_BST(root-1);
   right =  compute_no_of_BST(N-root);
   sum = sum + (left*right);
  }
  return sum;
 }
}

解释：

理解这个算法的关键是这样的：

不管distinct key是什么，BST的个数只取决于distinct key的个数

所以，这就是我们在递归中使用的。对于左子树，不同值的数量是 root-1，对于右子树，不同值的数量是 N-root。此外，我们给每个键作为root 使用 for 循环。

现在，让我们处理高度 H 的约束。我假设高度是从根到叶路径的边数。这也可以通过关注上述算法来处理，诀窍是：

我们不会调用递归函数调用高度 > H，为此我们必须跟踪从根开始遍历的边数，最初为 0。

这样就可以将范围缩小到新函数调用的样子。

natural_number compute_no_of_BST(N,H,0);

并且每次我们进行递归调用时，我们都会增加第三个变量以指示边遍历。

我们还将使用一个额外的数据结构，它是一个长度为 N 的数组，其中

arr[i] = number of BST with root i+1.

这是算法

natural_number compute_no_of_BST(N,H,l)
{
 if(N<=1)
  return 1;
 else
 {
  left=0,right=0,sum=0;
  for(root = 1 to N)
  {
   if(l+1<=H)
   {
    left = compute_no_of_BST(root-1,H,l+1);
    right =  compute_no_of_BST(N-root,H,l+1);
    if(l==0)
     arr[root-1] = (left*right);
   sum = sum + (left*right);
   }
  }
  return sum;
 }
}

现在 sum 可以很容易地计算为

arr[0]*1 + arr[1]*2 + ..... arr[N-1]*N.

【讨论】：

【解决方案2】：

这里只是上述递归算法的DP转换。

int bottom_up_specific_height(int n,int h){
 int i,j,l;
 for(l=0;l<=h;l++){
   dp[0][l]=1;
   dp[1][l]=1;
 } 
 int s=0;
 for(i=2;i<=n;i++){
   for(j=1;j<=i;j++){
     for(l=h;l>=0;l--){
       if(l==h)
         dp[i][l]=0;
       else  
         dp[i][l]+=(dp[j-1][l+1]*dp[i-j][l+1]);
       if(l==0 && i==n) 
         s+=(j)*(dp[j-1][l+1]*dp[i-j][l+1]);
     }

   }

 }  
  return s;
}

这里的复杂度降低到 O(h*n^2)。是否可以进一步优化！！

【讨论】：