【发布时间】：2011-04-01 09:56:42
【问题描述】：
因此，当仅知道曲线上的点时，我需要找出控制点在三次贝塞尔曲线上的位置，这些点可以位于 3D 中。如果我可以对曲线上的任意数量的点执行此操作，那将是理想的。我发现的大部分内容只涉及 2D，或者只涉及 4 个点。
【问题讨论】：
【发布时间】：2011-04-01 09:56:42
【问题描述】：
让我看看我是否理解你：
你想要一个插值贝塞尔曲线，
通过一组给定的点 P0 P1 ...
但绘制为贝塞尔曲线，具有类似的功能
bezier4( nstep, Pj, Cj, Dj, Pj+1 ) -- control points Cj, Dj
即要导出两个贝塞尔控制点Cj，Dj 对于每个 Pj -- Pj+1 ？
导出此类控制点的一种方法是使用伯恩斯坦多项式基
b0(t) = (1-t)^3
b1(t) = 3 (1-t)^2 t,
b2(t) = 3 (1-t) t^2
b3(t) = t^3
bezier4(t) = b0(t) P0 + b1(t) C0 + b2(t) D0 + b3(t) P1
= P0 at t=0, tangent --> C0
= P1 at t=1, tangent <-- D0
并查找或导出插值 aka Catmull-Rom 样条 经过P-1 P0 P1 P2：
b0(t) P0
+ b1(t) (P0 + (P1 - P-1) / 6)
+ b2(t) (P1 - (P2 - P0) / 6)
+ b3(t) P1
= P0 at t=0, P1 at t=1
我们希望 bezier4(t) 与 CatmullRom(t) 的曲线完全相同，所以：
C0 = P0 + (P1 - P-1) / 6
D0 = P1 - (P2 - P0) / 6
给定 N 个点 P0 P1 ... (in 2d 3d ... anyd)，一次取 4 个； 对于每 4 个，该公式为您提供 2 个控制点 Cj、Dj
bezier4( nstep, Pj, Cj, Dj, Pj+1 )
这有意义吗，是你想要的吗？
（为了赏金，我会拼凑一些 Python / numpy。）
【讨论】：
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感谢您的回复，从我阅读的内容来看，这似乎是一种有效的方法，但我对公式很生疏。我不确定 P-1 或 t 代表什么。
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P-1 P0 P1 P2 只是沿曲线连续 4 个点的名称（如果您愿意，可以将它们称为 P1 P2 P3 P4）；并且 t 通常沿着一条曲线从 0 到 1 运行——想想从 0 到 1 秒沿着它移动。 Google 样条曲线（简介|教程）提供 170 万次点击...
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啊，好吧，不过 P-1 似乎用起来很奇怪。另外，我假设 t 只是曲线上的一个参数，并且基于此您知道每个控制点对曲线的该部分有多大影响...但是由于我只知道曲线上的点，所以我认为您会堵塞在每个已知点的参数（和位置）中，以计算控制点。我仍然需要插入更多的测试号码......只是时间不够用了。感谢您到目前为止的帮助。