将二次贝塞尔曲线转换为三次贝塞尔曲线答案

【问题标题】：Convert a quadratic bezier to a cubic one将二次贝塞尔曲线转换为三次贝塞尔曲线
【发布时间】：2011-03-10 21:51:37
【问题描述】：

将二次贝塞尔曲线（3 点）转换为三次贝塞尔曲线（4 点）的算法是什么？

【问题讨论】：

标签： c++ c algorithm graphics vector

【解决方案1】：

来自https://fontforge.org/docs/techref/bezier.html#converting-truetype-to-postscript：

任何二次样条都可以表示为三次（三次项为零）。三次方的端点将与二次方的端点相同。

CP₀ = QP₀
CP₃ = QP₂

三次方的两个控制点是：

CP₁ = QP₀ + 2/3 *(QP₁-QP₀)
CP₂ = QP₂ + 2/3 *(QP₁-QP₂)

...由于四舍五入而引入了轻微错误，但不太可能引起注意。

【讨论】：

Flavius 建议使用CP2 = CP1 + 1/3*(QP1-QP2)。但从我的数学来看，这似乎给出了不同的结果。（拿点QP0=(0,0)、QP1=(1,2) 和QP2=(3,0)；我的公式得到CP2=(5/3, 4/3)，弗拉维乌斯的得到CP2=(0,2)。）我通过将三次系数设置为0 并求解其余部分来验证我的公式。 Flavius，你的配方是从哪里来的？
QP2 是二次方的句柄/锚点还是 QP1 是二次方的句柄/锚点？人们在我读到关于贝塞尔的每一个地方都会改变这些的顺序，当人们不指定时，要跟踪是很痛苦的。
QP1是中间的控制点，QP2是终点。

【解决方案2】：

作为参考，我基于 Owen's answer above 为 NSBezierPath (macOS Swift 4) 实现了 addQuadCurve。

extension NSBezierPath {
    public func addQuadCurve(to qp2: CGPoint, controlPoint qp1: CGPoint) {
        let qp0 = self.currentPoint
        self.curve(to: qp2,
            controlPoint1: qp0 + (2.0/3.0)*(qp1 - qp0),
            controlPoint2: qp2 + (2.0/3.0)*(qp1 - qp2))
    }
}

extension CGPoint {
    // Vector math
    public static func +(left: CGPoint, right: CGPoint) -> CGPoint {
        return CGPoint(x: left.x + right.x, y: left.y + right.y)
    }
    public static func -(left: CGPoint, right: CGPoint) -> CGPoint {
        return CGPoint(x: left.x - right.x, y: left.y - right.y)
    }
    public static func *(left: CGFloat, right: CGPoint) -> CGPoint {
        return CGPoint(x: left * right.x, y: left * right.y)
    }
}

【讨论】：

【解决方案3】：

只是为接受的答案提供证明。

二次贝塞尔曲线表示为：

Q(t) = Q₀ (1-t)² + 2 Q₁ (1-t) t + Q₂ t²

三次贝塞尔曲线表示为：

C(t) = C₀ (1-t)³ + 3 C₁ (1-t)² t + 3 C_{2 sub> (1-t) t² + C₃ t³}

要使这两个多项式相等，它们的所有多项式系数必须相等。多项式系数是通过开发表达式获得的（例如：(1-t)² = 1 - 2t + t²），然后将所有项分解为 1、t、t² 和 t³：

Q(t) = Q₀ + (-2Q₀ + 2Q₁) t + (Q_{0 sub> - 2Q₁ + Q₂) t²}

C(t) = C₀ + (-3C₀ + 3C₁) t + (3C_{0 sub> - 6C₁ + 3C₂) t² + (-C₀ + 3C₁ -3C₂ + C₃) t³}

因此，我们得到以下 4 个等式：

C₀ = Q₀

-3C₀ + 3C₁ = -2Q₀ + 2Q₁

3C₀ - 6C₁ + 3C₂ = Q₀ - 2Q_{1子> + Q₂}

-C₀ + 3C₁ -3C₂ + C₃ = 0

我们可以通过在第二行简单地将 C₀ 替换为 Q₀ 来求解 C₁，得到：

C₁ = Q₀ + (2/3) (Q₁ - Q₀)

那么，我们可以继续代入求解C₂然后C₃，或者更优雅地注意变量变化下原方程的对称性t' = 1-t，得出结论：

C₀ = Q₀

C₁ = Q₀ + (2/3) (Q₁ - Q₀)

C₂ = Q₂ + (2/3) (Q₁ - Q₂)

C₃ = Q₂

【讨论】：