如果我有描述贝塞尔曲线 P1、P2、P3、P4 的 4 个点（其中 P1 和 P4 是曲线的端点，P2 和 P3 是曲线的控制点），我怎么能找到只描述这条贝塞尔曲线的一部分的点？
我找到了这个answer，这正是我正在寻找的，但答案似乎是错误的。如果我在应该代表整个贝塞尔曲线的方程中设置 t0=0 和 t1=1，则结果点无效。它们不等于原始点。
似乎该解决方案与 De Casteljau 算法有关，但我无法理解它是如何工作的。
【问题讨论】：
标签： math graphics coordinates bezier
是的，De Casteljau's algorithm 是要走的路。
如果您的曲线没有从 t=0 到 t=1 正确参数化，那么您似乎使用了错误的方程式来描述您的曲线。 Wikipedia 为您提供正确的公式：
B(t) = (1−t)3P1 + 3(1−t)2t P2 + 3( 1−t)t2P3 + t i>3P4
[我将维基百科中从零开始的索引调整为您问题中的从一开始。]
如果你设置 t=0，你会得到 P1，你的起点。如果您设置 t=1，您将获得 P4，即您的端点。在这两者之间，曲线的形状由这些点和两个控制点 P2 和 P3.
让 t 成为您想要切割曲线的参数。假设您只想保留初始部分。从 P1 到 P2 绘制三条线，从那里到 P3 并从那里到 P4。您以 t 长度的分数分割这些线中的每一条，即分割点之前的线的长度与整个长度相关为 t ： 1. 你现在有三个新点 P12 到 P34。再次相同得到两个点P123和P234，再次得到单点P1234。最后一点是 B(t)，即截断曲线的端点。起点是 P1 和以前一样。新的控制点是 P12 和 P123 我们刚刚构造它们的方式。
删除曲线的初始部分的工作方式相同。因此，您可以分两步修剪曲线的两端。您获得了一组新的控制点，它们准确地（直到您使用的数值精度）描述了原始曲线的一段，不涉及近似值或类似的东西。
您可以将上述所有几何描述转换为代数公式，在理想情况下，您应该从this answer 到您引用的问题得出结果。
唉，这似乎不是一个完美的世界。在撰写本文时，这些公式仅使用了二次多项式，因此它们无法描述三次曲线上的端点。正确的公式应该如下：
其中 u0 = 1 - t0 和 u1 = 1 - t1.
请注意，在括号中的表达式中，至少有一些术语是相等的并且可以组合。我没有这样做，因为我相信这里所说的公式会使模式更清晰。您可以简单地为 x 和 y 方向独立执行这些计算来计算新的控制点。
【讨论】：