在多个点拆分三次贝塞尔曲线

Question

我正在编写一个算法，它将三次贝塞尔曲线分割成多条曲线（最多 4 条）。对于我想从一开始分割的每个点，我都有 t 值。我也有一个算法已经将曲线分割一次：

SubdivPoints subdivideBezier(Vector2 p0, Vector2 p1, Vector2 p2, Vector2 p3, float t)
{
    Vector2 p11 = (p1 - p0) * t + p0;
    Vector2 p21 = (p2 - p1) * t + p1;
    Vector2 p31 = (p3 - p2) * t + p2;

    Vector2 p12 = (p21 - p11) * t + p11;
    Vector2 p22 = (p31 - p21) * t + p21;

    Vector2 p13 = (p22 - p12) * t + p12;

    return SubdivPoints(p11, p12, p22, p31, p13);
}

我的问题是，有没有一种简单的方法可以将其扩展为多次拆分？我想在每次拆分后我想重新计算 t 值；我想知道的一件事是简单的算术是否可以在这里工作。例如。假设我的 t 值为 0.2 和 0.6。我在 t = 0.2 处分割曲线，得到两条曲线。第二条曲线覆盖原始值 0.2

Answer 1

由于您的 subdivideBezier() 函数确实遵循 De Casteljau 算法，我假设它可以在参数 t 处细分三次贝塞尔曲线。所以，是的，要继续以不同的参数（比如 t2）细分，您需要做的就是找出 t2 落在哪条细分曲线上，根据该曲线计算新的 t2* 并细分。在您要在 t=0.2 和 0.6 处细分的示例中，0.6 的新参数应为 (0.6-0.2)/(1-0.2) = 0.5。因此，您可以简单地在 t=0.5 处细分第二条曲线。

Answer 2

很难说即使您当前的方法有效，因为我们看不到 SubdivPoints 背后的内容。我可以想到两种方法：

1. 代数

   如果您将问题视为多项式的参数t 缩放，那么它会变得更加清晰。例如，您想要零件 t=<0.25,0.5> 的控制点。这意味着我们需要使用参数u=<0.0,1.0> 形成代表同一曲线的新控制点。怎么做？

   1. 将 BEZIER 写为多项式

   每个轴都可以以相同的方式单独完成让我们只关注x-axis。我们有 4 个 BEZIER 控制点，x 坐标为(x0,x1,x2,x3)。如果我们应用伯恩斯坦多项式形成三次多项式，我们得到：

   x(t)=      (                           (    x0))
       +    t*(                  (3.0*x1)-(3.0*x0))
       +  t*t*(         (3.0*x2)-(6.0*x1)+(3.0*x0))
       +t*t*t*((    x3)-(3.0*x2)+(3.0*x1)-(    x0))
   

   1. 通过替换重新调整参数

   为此使用线性插值：

   t0=0.25 -> u0=0.0
   t1=0.50 -> u1=1.0
   t=t0+(t1-t0)*(u-u0)/(u1-u0)
   t=0.25+0.5*u
   

   现在用 u 代替 t 重写多项式

   x(t)=             (                           (    x0))
       +(0.25+u/2)  *(                  (3.0*x1)-(3.0*x0))
       +(0.25+u/2)^2*(         (3.0*x2)-(6.0*x1)+(3.0*x0))
       +(0.25+u/2)^3*((    x3)-(3.0*x2)+(3.0*x1)-(    x0))
   

   1. 更改多项式形式以再次匹配 BEZIER 方程

   现在您需要将 u^0,u^1,u^2,u^3 的多项式项分开并重新调整每个项以匹配 BEZIER 样式（来自 #1）。从中提取新的控制点。

   例如 term u^3 是这样的。获得 u^3 的唯一可能性是来自

   (1/4+u/2)^3= (1/8)*u^3 + (3/16)*u^2 + (3/32)*u + (1/64)
   

   如此分开的u^3 术语将是：

   u*u*u*((    x3)-(3.0*x2)+(3.0*x1)-(    x0))/8
   

   其他的会有点复杂，因为你需要将所有的线组合在一起......简化后你需要分离新的坐标。正如您所看到的，这有点疯狂，但是那里有代数求解器，例如 Derive for Windows ...

   对不起，我没有时间/心情/胃来完整地举例说明所有术语，但你会发现这将是一个多项式的疯狂......

2. 曲线拟合

   这是基于您正在查找控制点的坐标并检查它与所需曲线的距离。因此，测试“所有可能的”点并记住目标范围上的原始曲线与新曲线之间的紧密匹配。这将是无法解决的，因为可能存在无限数量的控制点，因此我们需要通过利用某些东西将它们减少到可管理的大小。例如，我们现在的控制点将不会远离原始控制点，因此我们可以使用它来限制每个点的区域。您可以使用 approximation search 进行此或任何其他最小化技术。

   如果您使用插值三次，您还可以获得更好的起点。见BEZIER vs Interpolation cubics。所以：

   1. 从您的 BEZIER 曲线计算 4 个新的插值三次控制点

      所以如果我们的范围和以前一样

      X0 = BEZIER(t0-(t1-t0))
      X1 = BEZIER(t0)
      X2 = BEZIER(t1)
      X3 = BEZIER(t1+(t1-t0))
      

      这些是插值三次控制点而不是 BEZIER。它们应该均匀分散。 X1,X2 是曲线端点，X0,X3 在它们之前和之后，以尽可能保持参数的局部形状和线性

   2. 从 (X0,X1,X2,X3) 转换回 BEZIER 控制点 (x0,x1,x2,x3)

      您可以使用上面链接中的我的公式：

      // input: X0,Y0,..X3,Y3  ... interpolation control points
      // output: x0,y0,..x3,y3 ... Bezier control points
          double x0,y0,x1,y1,x2,y2,x3,y3,m=1.0/9.0;
          x0=X1;             y0=Y1;
          x1=X1+((X1-X0)*m); y1=Y1+((Y1-Y0)*m);
          x2=X2+((X2-X3)*m); y2=Y2+((Y2-Y3)*m);
          x3=X2;             y3=Y2;
      

      如您所见，每个轴的计算方式相同...

   3. 对 BEZIER 控制点应用近似搜索

      新的(x0,x1,x2,x3) 还不够精确，因为盲目地改变控制点我们可能会错过一些局部极端的曲线扭曲形状。所以我们需要寻找真实的。幸运的是，新的控制点(x0',x1',x2',x3') 将非常接近这些点，所以现在我们必须仅在其对应部分附近搜索每个点，并且周围有一些合理的半径（如边界框size/8 或其他任何东西......你会看到结果并且可以调整...

[注释]

如果您需要精确的精度结果，那么只有 #1 方法可用。方法 #2 总会有一些错误。如果形状不需要精确，有时在没有最终拟合的情况下将插值三次转换为 BEZIER 就足够了（如果切割区域中/附近的形状不太复杂）。

正如我之前写的，不知道你的SubdivPoints使用了哪个原理是不可能回答重复使用它的结果会是什么......

您还没有指定解决方案的约束条件，例如结果的准确性、速度/运行时限制……如果范围是固定的（恒定的）或在运行时可以变化（这将使您需要的 #1 方法极度复杂化将范围作为变量处理到最后）