给定起点和终点的法线，如何计算 3D 三次贝塞尔曲线上点的法线？

Question

我正在尝试使用单个 3D 三次贝塞尔曲线来渲染“3D 色带”来描述它（色带的宽度是恒定的）。第一个和最后一个控制点有一个与它们相关的法线向量（它们总是垂直于这些点的切线，并描述了这些点上色带的表面法线），我试图平滑地插入法线向量曲线的过程。

例如，给定一条形成字母“C”的曲线，第一个和最后一个控制点的表面法线都指向上方，色带应该从平坦开始，与地面平行，慢慢转动，然后再次平坦结束，面向与第一个控制点相同的方向。要“顺利”完成此操作，它必须在曲线的中途面向外。目前（对于这种情况），我只能让所有表面都朝上（而不是在中间向外），这会在中间产生难看的过渡。

这很难解释，我在这个示例的下方附上了一些图片，说明了它目前的样子（所有表面朝上，中间急剧翻转）和它应该是什么样子（平滑过渡，表面缓慢旋转）圆形的）。银色面代表正面，黑色面代表背面。

不正确，目前的样子：

Correct Ribbon http://img211.imageshack.us/img211/4659/ribbonincorrect.th.png

正确，它应该是什么样子：

Incorrect Ribbon http://img515.imageshack.us/img515/2673/ribboncorrect.th.png

我真正需要的是能够为 3D 三次贝塞尔曲线上的任何点计算这个“混合法线向量”，我可以毫无问题地生成多边形，但我不知道如何让它们如图所示顺利旋转。完全不知道如何进行！

Answer 1

您可以使用this answer 第一部分中解释的算法，在 t=0（或固定 t，无论您选择哪个）处评估法线会给您一个平滑的过渡。

像这样：

（想象一下你的人行道沿着蓝红边界）

编辑

好的，这是我通过另一种方式得到的：

程序很简单：

有你的参数化功能：

f[t] := { x[t], y[t], z[t] }  

求导数计算切向量：

f'[t] := { x'[t], y'[t], z'[t] }  

选择你的开始（和结束法线向量）例如：

n[0] = {0, 0, 1};

现在定义另一个函数作为导数和法线的向量积：

cp[t_] := CrossProduct[f'[t], n[0]];  

就是这样。

我的四边形的点在：

 {f[t] - cp[t]/3, 
  f[t] + cp[t]/3, 
  f[t + dt] + cp[t + dt]/3, 
  f[t + dt] - cp[t + dt]/3}  

其中 dt 是您喜欢的增量。

更复杂的方法可能会解释曲线路径长度，但我猜这是算法的第二次迭代。

HTH！