IEEE 754 浮点数，<1 的最大数是多少？答案

【问题标题】：IEEE 754 floating point, what is the largest number < 1?IEEE 754 浮点数，<1 的最大数是多少？
【发布时间】：2015-09-02 01:28:46
【问题描述】：

当使用 IEEE 754 浮点表示（c++ 中的double 类型）时，非常接近（可表示）整数的数字将四舍五入到最接近的整数并精确表示。这是真的吗？
在四舍五入之前，一个数字必须与最接近的可表示整数有多接近？
这个距离是恒定的吗？
比如给定1可以精确表示，那么小于1的最大double是多少？

【问题讨论】：

标签： c++

【解决方案1】：

当使用 IEEE 754 浮点表示时（double 输入 c ++），非常接近（可表示的）整数的数字是四舍五入到最接近的整数并精确表示。

这取决于数字是否更接近整数而不是其他可表示的值。 0.99999999999999994 is not equal to 1, but 0.99999999999999995 is.

这个距离是恒定的吗？

不，幅度越大，它就越小——尤其是表示中的指数越大。较大的指数意味着尾数覆盖的区间较大，这反过来又意味着整体精度较低。

例如，小于 1 的最大双精度数是多少？

std::nexttoward(1.0, 0.0)。例如。 0.999999999999999889 on Coliru.

【讨论】：

谢谢。我稍微编辑了这个问题，以减少我希望的误导。

【解决方案2】：

你会发现关于 1.0 的相反方向的更明确的陈述此处记录了 1.0 和下一个更大数字之间的差异：

std::numeric_limits<double>::epsilon()

浮点的工作方式，下一个较小的数字与 1.0 的距离应该是下一个较大数字的一半。

【讨论】：

【解决方案3】：

低于 1 的第一个 IEEE 双精度可以明确地写为 0.99999999999999989，但正好是 0.999999999999999988897769753748434595763683319091796875。

距离不是恒定的，它取决于数字的指数（以及大小）。最终差距变得大于 1，这意味着偶数（与奇数相反 - 奇数是第一个被四舍五入的整数）整数将稍微四舍五入（或者最终，很多）。

【讨论】：

【解决方案4】：

IEEE 浮点数递增的二进制表示可以看作是递增整数表示：

Hack 示例（英特尔）：

#include <cstdint>
#include <iostream>
#include <limits>

int main() {
    double one = 1;
    std::uint64_t one_representation = *reinterpret_cast<std::uint64_t*>(&one);
    std::uint64_t lesser_representation = one_representation - 1;
    std::cout.precision(std::numeric_limits<double>::digits10 + 1);
    std::cout << std::hex;
    std::cout << *reinterpret_cast<double*>(&lesser_representation)
              << " [" << lesser_representation
              << "] < " << *reinterpret_cast<double*>(&one_representation)
              << " [" << one_representation
              << "]\n";
}

输出：

0.9999999999999999 [3fefffffffffffff] < 1 [3ff0000000000000]

当整数表示达到其极限时，如果指数位发生变化，连续浮点数的差值会增加。

另请参阅：http://randomascii.wordpress.com/2012/02/25/comparing-floating-point-numbers-2012-edition/

【讨论】：

【解决方案5】：

当使用 IEEE 754 浮点表示（c++ 中的 double 类型）时，非常接近精确整数的数字将四舍五入为最接近的整数并精确表示。这是真的吗？

这是错误的。

一个数字在四舍五入之前必须与最接近的 int 到底有多接近？

当您执行二进制到字符串的转换时，浮点数会使用当前舍入模式四舍五入到当前精度（对于printf 系列函数，默认精度为 6）。

【讨论】：