大O时间复杂度答案

【问题标题】：Big-O time complexity大O时间复杂度
【发布时间】：2010-10-25 08:19:53
【问题描述】：

我一直在自学 Big-O。我了解如何为算法提供以下符号的示例：

O(N):

for(int i = 0; i < n; i++)
    sum++;

O(N^2):

for(int i = 0; i < n; i++)
    for( int j = 0; j < n; j++)
        sum++;

O(N^3):

for(int i = 0; i < n; i++)
    for( int j = 0; j < n * n; j++)
        sum++;

我遇到了这些我不太理解的符号。我如何在算法方面给出这些例子？

也许我应该这样说：编写一个算法，它的运行时间与以下成比例：

O((n^3)/4)
记录 n^3
O((log^2)n)+O(n)
4^n
n^3/2

【问题讨论】：

你是这样吗？见stackoverflow.com/questions/107165/big-o-for-eight-year-olds和stackoverflow.com/questions/487258/…和stackoverflow.com/search?q=Big+O;
问题通常是如何找到特定算法的大 O，
这些是 O() 算法的示例。有无数种算法适合任何大 O。请查看 @KMan 的链接。
顺便说一句：O(log^2n)+O(n) 没有意义。 O 是一个符号，而不是一个函数，所以你不能添加它。另外，“log^2n”应该是什么意思？
对不起，我编辑了一些错别字。我在dreamincode.net/forums/topic/125427-determining-big-o-notation 上查看了一些示例，我能够研究一些源自符号的示例，即logN。我想知道我是否也可以从给定的符号中得出例子？我也在查看他的 logN 代码： for(int i = 0; i

标签： java big-o time-complexity

【解决方案1】：

我担心你误解了“Big-O”符号。

符号不是作为算法“表达”的。相反，Big-O 表示法描述算法的属性。

所以不是“O(N) 可以表示为 XXX”，而是“算法 XXX 的复杂度为 O(N)”。

也就是说，要求具有一定复杂性的算法示例是很合理的；你已经列出了一些。解决您的问题：

~~O(4^n) 与 O(e^n) 相同，常写为 O(exp(n))（尝试理解为什么相同）。~~ O( 4^n) 属于具有“指数复杂度”的算法类别 (EXPTIME)。数学/CS 中的许多重要问题都具有指数复杂度（或接近指数复杂度）。

具有指数复杂度的算法例如是discrete logarithm problem 的简单解决方案。

对于其他复杂性，我无法举例，但您可能会通过谷歌搜索找到一个。

【讨论】：

我不买你的 O(a^n) = O(b^n) 和 a,b>1。虽然在处理对数时基确实无关紧要，但这不适用于指数函数。否则，整个 EXPTIME 类将是一组 O(2^n)（或更方便地为 O((1+epsilon)^n)）算法的问题。
@bitmask：实际上是这样。维基百科，例如将 EXPTIME 定义为“确定性图灵机在 O(2^p(n)) 时间内可解决的所有决策问题的集合”（其中 p(n) 是 n 中的多项式）。
顺便说一句，我原来的陈述“O(4^n) 与 O(e^n) 相同”当然是错误的。我的想法（但非常模糊）是它们都在 EXPTIME 中。谢谢你提醒我:-)。
是的，那是不同的东西。 O(2^p(n)) 包含所有 O(a^n)，因为您可以在 p 中隐藏不同的基数 (a)。例如，如果 p(n)=2n，那么你有 2^(p(n)) = 4^n。但这并不意味着 O(2^n) = O(4^n)。

【解决方案2】：

您给出的算法严格来说不是 Big-O，而是 Theta。 Big-O 是一个渐近上界，这意味着在某些更坏的情况下，运行时间将是给定的，但并非针对所有输入，因为 Theta 是一个紧界，意味着运行时间将始终如此。例如，考虑一个排序算法，它以一个已经排序的列表作为输入，或者一个搜索算法，其中要找到的东西是列表中的第一个元素（在这种情况下，二进制搜索与线性搜索相比如何）。

【讨论】：

如果我们要挑剔的话。 Theta(f(N)) 的任何算法也是 O(f(N))。所以 OP 说他们是 Big-O 是正确的
???这些都是Big-O 和 Omega，暗示Theta。 “意思是在一些更糟糕的情况下输入”。 Theta 只是更具体，下限也已被发现/证明。它与最坏的情况无关。 “运行时间永远是那个”严格来说是不正确的，最好是“速率的增长与 Theta 成正比”。