大 O 的时间复杂度

Question

我有一个对图像进行 4 级分解的代码。这些级别类似于图像的小波变换，将图像分解为 4 个级别：近似部分和三个详细部分。我实现的代码使用广义 SVD 来进行这种分解。这是代码

      function[Y,U] = MSVD1(X)
       %multiresolution SVD (MSVD)
        %input-> x: image (spatial domain)
        %outputs-> Y: one level MSVD decomposition of x
        %          U: the unitary matrix (U in SVD)
         [m,n] = size(X);
        m = m/2; n = n/2;
        A = zeros(4,m*n); 
        for j = 1:n
         for i = 1:m
           A(:,i + (j-1)*m) = reshape(X((i-1)*2+(1:2),(j-1)*2+(1:2)),4,1);
         end
        end
      [U,S] = svd(A);
       T = U'*A;
      Y.LL = reshape(T(1,:),m,n);
      Y.LH = reshape(T(2,:),m,n);
      Y.HL = reshape(T(3,:),m,n);
      Y.HH = reshape(T(4,:),m,n);
      end

现在涉及到的基本操作是使用 SVD。所以我的问题是大 O 表示法的时间复杂度是否应该与矩阵的普通 SVD 相同？如果不是，我们需要考虑哪些条款才能找到图像输入大小的复杂性？重塑元素是否也增加了时间复杂度，还是只是 O(1)？ 有人可以帮忙吗？

Answer 1

首先，常量大小reshape（循环内）的复杂度是O(1)。因此，for 循环的复杂度为\Theta(m*n)。其次，svd 的复杂度是O(max(m, n) * min(m, n))，根据函数返回的数据，它可以是O(max(m, n)^2)（根据this reference）。此外，根据@Daniel 注释，在代码末尾进行重塑的最坏情况可能是O(m*n)（通常小于此值）。

因此，代码的复杂度为O(max(m, n)^2)。另外，由于循环，它是Omega(m*n)。