此代码的大 O 时间复杂度

Question

给定以下代码-：

for(int i = 1; i <= N; i++)
    for(int j = 1; j <= N; j = j+i)
    {
        //Do something
    }

我知道外循环运行N 次，而内循环运行大约log(N) 次。这是因为在 i、j 的每次迭代中运行 ceil(N)、ceil(N/2)、ceil(N/4) 次等等。这只是一个粗略的计算，通过它可以猜测时间复杂度肯定是O(N log(N))。

我如何在数学上证明相同？

我知道对于 i<sup>th</sup> 迭代，j 递增 ceil(N/2<sup>(i - 1)</sup>)。

Answer 1

每个 i 值的内循环的总迭代次数将是

i = 1: j = 1, 2, 3 ..., n ---> total iterations = n
i = 2: j = 1, 3, 5 ..., n ---> total iterations = n/2 if 2 divides n or one less otherwise
i = 3: j = 1, 4, 7 ..., n ---> total iterations = n/3 if 3 divides n or one less otherwise
...
i = m: j = 1, 1 + m, ... , n ---> total iterations ~ n/m
...
1

所以大约总迭代次数为(n + n/2 + n/3 ... + 1)。

该总和是Harmonic Series，其值约为ln(n) + C，因此总迭代次数约为n ln(n)，并且由于所有对数都由一个常数相关，因此迭代次数将为O(nlogn)。