TSP 的大 O 时间复杂度

Question

我目前正在阅读这篇文章 - https://core.ac.uk/download/pdf/154419746.pdf，并对算法 1 的 O(n^2 * 2^n) 时间复杂度如何计算感到困惑。有人可以解释一下吗？本来以为是Bellman-Held-Karp算法，但是好像和普通的伪代码有点不一样。

Answer 1

完整的算法实际上是 O(n^3 * 2^n)。您给出的复杂度是计算 n 个问题所需的复杂度。但是我们可以通过直接查看代码来找出复杂性来自何处。 我们的第一个循环是这样的：

foreach w in V do
    …
end do

这完全是在 n 个步骤中完成的。 我们可以忽略这一点，因为第二个循环要复杂得多（如果您添加两个复杂性，更复杂的一个会获胜） 有四个嵌套循环，这意味着我们需要将单个复杂度相乘。除了一个之外，所有这些都是 O(n)： for i=2,…|V| 很明显，因为我们迭代了 V 中的所有元素减一 foreach w in S 和 foreach u in S：两者都包含足够的元素来满足 O(n) 的要求（在第一次迭代中，1，然后是 2，然后是 4，等等） 最后我们有for each subset S of V where the size of S is i 。这是组合数学，但有 2^n 个元素是这样的。