Big-O 表示法中的嵌套循环？答案

【问题标题】：Nested Loops in Big-O Notation?Big-O 表示法中的嵌套循环？
【发布时间】：2010-11-22 23:00:25
【问题描述】：

也许我对 Big-O 表示法的理解有误（我已经有一段时间没有学习算法课程了），但以下内容对我来说从来没有太多意义：

这将被视为 O(n^2)：

for (int i = 0; i < num_1; i++)
{
    for (int j = 0; j < num_2; j++) 
    {
        cout << i << " " << j << endl;
    }
}

这将被视为 O(n)：

for (int z = 0; z < num_3; z++) { cout << z << endl; }

我的问题是涉及到实际条款。让我们假设num_1 = 10; num_2 = 20; num_3 = 1000;。在这种情况下，第一个示例 O(n^2) 的内部迭代次数将比 O(n) 第二个示例少得多。

更笼统地说：当num_3 > num_1 * num_2 时，O(n^2) sn-p 比 O(n) sn-p 少。在现实世界的应用程序中，这两个 sn-ps 可能正在执行两个非常独立的任务，其中 num_1、num_2 和 num_3 的功能界限有很大不同。嵌套的 num_1 和 num_2 可能会循环 0 到 255 之间的变量值，但 num_3 可能经常出现超过一百万的值。

在不考虑实用或操作变量的情况下，为什么编码人员应该/会相信基于Big-O表示法的算法或sn-p边界？

【问题讨论】：

标签： theory big-o

【解决方案1】：

说O(n^2) 中的某些内容只有在明确“n”应该是什么时才有意义。通常它指的是输入的大小（或者如果输入是一个数字，它只是指那个数字），但是在你的代码中，并不清楚输入是什么。

for (int i = 0; i < num_1; i++)
{
    for (int j = 0; j < num_2; j++) 
    {
        cout << i << " " << j << endl;
    }
}

通常会说上面sn-p的运行时间在O(num_1 * num_2)。如果num_1 和num_2 都是常量，这意味着它在O(1) 中。如果num_1 和num_2 都与程序输入的大小（n）成线性比例，那么它确实是O(n^2)。如果num_1 和num_2 都与输入大小的平方成正比，则在O(n^4) 中。

底线：这完全取决于 num_1 和 num_2 是什么，以及它们的增长方式以及取决于哪些因素。

for (int z = 0; z < num_3; z++) { cout << z << endl; }

现在这个代码在O(num_3)。要根据n 说明这是什么，我们需要再次了解num_3 与n 的关系。

如果所有num_1、num_2和num_3都与n成线性比例，那么您确实可以说第一个sn-p运行在O(n^2)时间，第二个运行在O(n)。但是，在这种情况下，num_3 不可能大于 num_1 * num_2 以获得足够大的 n。

【讨论】：

【解决方案2】：

Big O 描述的是算法速度，而不是实际代码。

当你有一个通用算法时，你不知道变量的约束是什么。

【讨论】：

【解决方案3】：

big-Oh 符号是一种将计算复杂度表示为增长率函数的方法。绝对必须理解，它是一个近似值，并且实际上只暴露了所涉及变量的大值（例如 N）。

您是绝对正确的，单个变量值、常量等会产生很大影响。

但是，对于类似（和大）大小的变量值，一组算法的 big-Oh 表达式将指示它们的相对性能。但更典型的是，它是一种方便的独立于实现的方式来表达算法的最佳、平均和最坏情况复杂性。

不过，归根结底，一旦选择了候选算法的简短列表（可能基于大哦符号和其他特征，例如空间要求等），那么使用具有代表性的数据集对实现进行计时就是路要走。

【讨论】：

【解决方案4】：

大 O 表示法只说明算法对给定大小的数据工作多长时间，以及当您获得更多数据时它将如何“扩展”，如果 O(n) 算法获得的数据多于 O(n^ 2）算法（如您的示例所示）。但是，如果您向 O(n) 算法提供 2 倍的数据，您应该预期运行时间会延长 2 倍，而使用 O(n^2) 您应该预期会延长 4 倍。

【讨论】：

【解决方案5】：

当 N 接近无穷大时，您可以将这些示例更多地考虑为 Big O。

所以你在你的场景中 num_3 > num_1 * num_2 是对的，但是随着这三个数字越来越大，这将不再适用。

如果 algorithm1 是 O(N) 并且 algorithm2 是 O(N^2) 这并不意味着 algorithm1 总是比 algorithm2 好，它只是意味着 N 有一些阈值（通常称为 N0）在那之后点算法1 会比算法2 执行得更好。

一个随机的例子是插入排序是 O(N^2)，而 MergeSort 是 O(N*log(N))，但是对于非常小的 N 值，插入排序实际上最终会更快。但是，一旦 N 变得足够大，MergeSort 总是更快。 Arrays.sort 函数的 Java 版本实际上有一个 if 语句，它对非常小的 N 值使用插入排序，对大于特定大小的任何值使用修改后的快速排序或合并排序（幻数约为 N=7 )。

Arrays.sort 的 int 数组的 Java 代码（在 Java 6 中）如下所示：

private static void sort1(int x[], int off, int len) {
    // Insertion sort on smallest arrays
    if (len < 7) {
           //insertion sort
        }

        //modified quick sort
}

归根结底，Big O 表示法是一种分类机制，可帮助您以独立于计算机硬件的方式快速分析和比较算法，并且不需要您编写、测试和计时各种算法。这是一个简化的符号，所以它永远不会是准确的，正如我刚刚给出的示例所示，它非常依赖于数据的大小和范围。

对算法的大 O 表示法的一个主要警告是，如果您可以对数据做出假设，则通常可以改进算法。

【讨论】：

【解决方案6】：

Big-O 为您提供上限或最坏情况下的增长率。常量被忽略，因为随着 n 的增长，它们变得越来越微不足道（例如，而不是说 O(3+2n) 你只会说 O(n) ）。

Big-Omega 是最佳情况下的增长率，根据您对算法使用方式的了解，在某些情况下可能更适合您使用。

如果给定算法的 Big-O 和 Big-Omega 相同，则称为精确顺序，您可以将其正确为 Big-Theta。

编辑：澄清一下，最坏情况分析通常更可取，因为您希望能够告诉客户“它总是会表现得这么好或更好”，而不是“如果你的数据恰好是完美的，它就会表现得很好！ "

【讨论】：