如何为我的循环找到 Big-O 表示法？

Question

我在找出这段代码的 Big-O 表示法时遇到了麻烦。 我需要找到两个 for 循环的符号。

public static int fragment(int n)
{
  int sum = 0;

  for (int i = n; i >= 1; i /= 2)
  {
    for (int j = 1; j <= i; j *= 3)
    {
      sum++;
    }
  }

  return sum;
}

Answer 1

分别考虑两个循环：

首先让我们考虑for(int i=n; i>=1; i/=2) 在每次迭代中，i 的值将除以 2，直到它达到小于 1 的值。因此，迭代次数 N 将等于您应该将 i 除以 2 在它小于 1 之前的次数。有一个众所周知的函数表示这个数字 - log(n)。

现在让我们考虑内部循环。 for(int j=1;j<=i; j*=3)。在这里，您将 j 乘以 3，直到它超过 i。如果您稍微考虑一下，这与以下对第一个循环的轻微修改所执行的迭代次数完全相同：for(int j=i; j>=1; j/=3)。并且通过完全相同的解释，我们具有相同的功能（但具有不同的基数 - 3）。这里的问题是迭代次数取决于 i。

所以现在我们的总复杂度是：

log₃(n) + log₃(n/2) + log₃(n/4) ... + log ₃(1) =

log₃(n) + log₃(n) - log₃(2) + log₃(n) .... - log₃(2^log₂(n)) =

log₃(n) * log₂ (n) - log₃(2) - 2 * log_{3(2) - ... log2(n) * log3(2) =}

log₃(n) * log₂ (n) - log₃(2) * (1 + 2 + ...日志₂) =

log₃(n) * log₂ (n) - log₃(2) * (log_{2 sub>(n) * (log2(n) + 1)) / 2 =}

log₂ (n) * (log₃(n) - log₃(2) * (log_{2(n) + 1) / 2) =}

log₂ (n) * (log₃(n) - (log₃(n) + log_{3(2)) / 2) =}

(log₂ (n) * log₃(n)) / 2 - (log₂ (n) * log₃(2)) / 2

计算有点棘手，我使用了一些对数属性。然而，最终的结论是循环具有复杂性O(log(n)^2)（请记住，您可以忽略对数的底数）。

Answer 2

为了正式推断时间复杂度，使用 sigma 表示法是一种合适的方法：

WolframAlpha 帮助我对封闭式公式求和。

对于对数，您可以查看this document 的最后一张幻灯片，Jauhar 博士解释了对数循环。