使用递归树的大 O 表示法分析

Question

一个问题来自：http://qpleple.com/divide-and-conquer/ 算法比较

您是 Facebook 的产品经理，您团队中的三位工程师提出了这三种算法来检测 n=10 亿 Facebook 帐户列表中的虚假 Facebook 帐户。

Rakesh 解决问题的方法是将问题分成五个大小为一半的子问题，递归地解决每个子问题，然后在线性时间内组合解决方案。

Chris 通过递归求解两个大小为 n-1 的子问题，然后在恒定时间内组合解决方案来解决大小为 n 的问题。

Matus 解决大小为 n 的问题，方法是将它们分成 9 个大小为 n/3 的子问题，递归地解决每个子问题，然后在 O(n²) 时间组合解决方案

所以通过使用主定理，我发现：

• Rakesh 算法的运行时间为O(n<sup>log₂(5)</sup>)
• Matus 算法的运行时间为O(n<sup>2log(n)</sup>)

绘制递归树并使用：

Rasket 的算法有：

#levels = log₂(n) #of 节点 k = 5^k k 级每个节点的开销 = n/2^k

但是无论我怎么努力，我都无法得到等于O(n<sup>log₂(5)</sup>)的总和，Matus的算法也是如此。

另外，有没有办法用主定理解决克里斯算法的运行时间？

Answer 1

申请

#levels = log₂(n) #of 节点 k = 5^k k 级每个节点的开销 = n/2^k

致

你得到（使用geometric formula）

T(n) = Σ_{k=0,...,log₂(n)} 5^k ⋅ n/2^k = n ⋅ Σ_{k=0,...,log₂(n)} (5/2)^k = n ⋅ (1 - (5/2)^log₂(n)+1) / (1 - 5/2) = (n - n ⋅ (5/2) ⋅ 5^log2(n) / 2^log2(n)) / (1 - 5/2) = (n - n ⋅ (5/2) ⋅ 5^log₂(n) / n) / (1 - 5/2) = (n - (5/2) ⋅ 5^log₂(n)) / (1 - 5/2) = ((5/2) ⋅ 5^log₂(n) - n) / (5/2 - 1) = ((5/2) ⋅ 5^log₂(n) - n) / (3/2) = (5/3) ⋅ 5^log2(n) - (2/3) ⋅ n ∈ Θ(5^log2(n))

现在你只需要显示5<sup>log₂(n)</sup> = n<sup>log₂(5)</sup>，大约一行就可以完成。

我为 Chris 得到的递归方程是

T(n) = 2⋅T(n-1) + O(1)

这不能通过使用主定理来解决，但是您可以将其扩展为一个总和并解决它：

T(n) = 2⋅T(n-1) + Θ(1) = 2⋅(2⋅T(n-2)+ Θ(1)) + Θ(1) = 2²⋅T(n-2) + 2⋅Θ(1) + Θ(1) ... = 2ⁿ⋅T(1) + 2^n-1⋅Θ(1) + ... + 2⋅Θ(1) + Θ(1) = 2ⁿ⁺¹⋅Θ(1) - 1 ∈ Θ(2ⁿ)

这适用于T(1) ∈ Θ(1)。