用递归计算大 O 表示法

Question

我试图理解 Big O Notation 最坏情况运行时。 但我还是不太明白。

这是我最近写的一些代码：

def g(n):
    if n==0:
        return 1
    elif n==1:
        return 2
    else:
        n_div=n//2
        n_mod=n%2
        return g(n_div)*g(n_mod)

所以我希望我至少是对的：

def g(n):
    if n==0:
        return 1

和：

elif n==1:
    return 2

是 O(1)，所以是恒定的。

但是else 部分呢。

它是 O(n)，因为它取决于我选择的 n 吗？

谁能解释 else 部分的大 O 复杂性是什么？

Answer 1

嗯，您已经注意到您可以将您的函数分成 3 个单独的案例，并且已经确定前 2 个是 O(1)。第三个稍微复杂一些，但您也可以将其分成两部分。

递归显然发生在：

g(n//2)*g(n%2)

我们可以立即看到n%2 将评估为 0 或 1，这将再次解决前两种情况之一，因此我们可以忽略它。留下我们g(n//2)。通过将其重写为打印循环并检查输出，您会注意到一些事情：

>>> n = 37
>>> while n > 1:
...     n //= 2
...     print(n)
...
18
9
4
2
1

正如您所见，项每次减少一半，递归中也会发生同样的情况。这是对数。

因此，这个函数的最坏情况是 O(logn)。

您可以通过查看this question 了解更多关于 logn 在 Big-O 表示法中的实际含义。

Answer 2

O 表示法并不真正用于程序的一部分。它确实衡量了运行时间随着输入大小的增加而增加的方式。在这种情况下，耗时的部分是最后的 else 部分。

您需要了解这对您的程序有何作用。这是一个简单的经验分析，应该对您有所帮助。如果我们稍微检测一下程序以打印出最终else 部分针对给定输入运行了多少次，我们就会得到这个。

   n | times
-----+-----
   2 | 1
   4 | 2
   8 | 3
  16 | 4
  32 | 5
  64 | 6
 128 | 7
 256 | 8
 512 | 9
1024 | 10
2048 | 11
4096 | 12
8192 | 13

如果你绘制这个，你会看到类似的东西。

您可以看到，随着输入大小的增加，调用次数也会增加，但呈次线性增加。事实上，它是对数的，因为您的 n 每次循环迭代都会减少 50%。