具有半正定矩阵的共轭梯度

Question

我正在研究共轭梯度以解决 A 对称且半正定时的 Ax=b。

当 A 是对称且半正定的时，是 (A+λ I)，其中 λ 是正数，I 是单位矩阵，总是正定的？那么我们可以在CG中使用（A+λ I）代替A，因为（A+λ I）是对称的并且是正定的？

当 A 是正半定的且具有许多重复的零特征值时，A 和 (A+λ I) 都不是满秩吗？当矩阵不是满秩时，CG如何表现？

非常感谢！

Answer 1

如果矩阵 A 是半正定矩阵，则矩阵 A+λI 其中 λ>0 是正定矩阵。效果是将 λ 添加到 A 的所有特征值上，因此 A 的任何零特征值都变为 λ。所以 A+λI 总是满秩的。