如何证明我的近似比？答案

【问题标题】：how to prove my approximation ratio?如何证明我的近似比？
【发布时间】：2015-01-05 09:26:07
【问题描述】：

假设给定一个加权图 G，我们希望将其节点聚类到 k 个簇中，使得簇之间所有边的权重之和最大。我们想要一个比率（1-1/k）的近似算法。

我的解决方案：因为这是一个最大化问题，首先我们必须找到 OPT 解决方案的上限。让 k 为 n 并且 G 是一个完整的图，因此 OPT 将是所有边的总和以及我们可以达到的最大值。所以 OPT

如果 k = n，如果 k

最后，我们至少移除了 (n-k) 个低权重边缘（在这种情况下，我们的结果等于 OPT），在最坏的情况下，只有 (k-1) 个高权重边缘被添加到结果中. 在这种情况下，结果是 Sum(k-1 high weighted edge)。为了证明我们的方法具有近似比 (1-1/k)，我们应该证明 (1-1/k)Sum(All)

【问题讨论】：

这个问题似乎是题外话，因为它似乎是关于解决家庭作业。

标签： algorithm approximation

【解决方案1】：

令 V1, ... , Vk 是在 V 上具有相同大小的初始随机聚类。现在，对于 Vi 中的每个 u 和 Vj 中的 v 都有

W(u,Vi)+W(v,Vj) > W(u,Vj)+W(v,Vi)

将 u 移动到 Vj 并将 v 移动到 Vi。

现在，我们有：

http://i.stack.imgur.com/8zeTI.png

【讨论】：

【解决方案2】：

请让k=2 然后，在下图中运行您提出的解决方案：

G=(V,E) 

V={a,b,c,d} 

E={({a,b},2) , ({a,c},3) , ({a,d},1) , ({b,d},2000000) , ({c,d},2000000)}

【讨论】：

在这个例子中，我们有 2 个集群，一个 {a,d,b} 和另一个 {c}，结果是 2000000+2000000+3 在这种情况下我认为它是 OPT
不，如果我们有 2 个集群 {a,d,b} 和 {c}，则结果是 2000000+3，这不是 OPT。我认为最佳解决方案是 {a,b,c} 和 {d}；在这种情况下，结果是 2000000+2000000+3。