关于代码时间复杂度计算的问题答案

【问题标题】：Problems regarding calculation of time complexity of a code关于代码时间复杂度计算的问题
【发布时间】：2014-11-18 18:55:20
【问题描述】：

我知道所有的符号（大 O 和小 o，大欧米茄，小欧米茄）界限和一切。但我还是个新手，我读了这段代码：

   void Function(int n)
    {  int i=1, s=1;
       while(s<=n) 
        { 
          i++;
          s=s+i;
          printf("*");
        }
     }

书上说运行时间是sqrt(n)或者O(sqrt(n))。谁能帮我看看是怎么回事？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

在这个算法中，关键是计算while循环执行了多少次。我们称之为x。要找到x，我们必须了解s 在x 方面的行为。

变量s 最多是序列中第一个x 项的总和（1、2、3...）。那就是：

s = x*(x+1)/2

现在我们必须了解x 在n 方面的行为。也就是我们需要找到x，如：

x*(x+1)/2 <= n

x*x+x <= 2n

x <= 1/2 * (sqrt(8n+1)-1)

因此，给定一些n，循环将迭代O(1/2 * (sqrt(8n+1)-1)) = O(sqrt(n)) 次。

【讨论】：

【解决方案2】：

首先，你要说服自己，问题的边界是n和s的增长。

让我们看看s 的增长速度。每次迭代，i 的当前值会被加，i 本身会加 1。也就是说，在第 j 次迭代中，i==j。

因此，给定任何迭代，s 的当前值是从 1 到当前i 的总和，大致为i^2，将与n 进行比较。

因此，迭代次数，本质上是i，将受到n的限制，这就是为什么这里是sqrt(n)的关系。

【讨论】：