通过 3 个特定操作从 1 到 n 的高效算法答案

【问题标题】：Efficient algorithm for getting from 1 to n with 3 specific operations通过 3 个特定操作从 1 到 n 的高效算法
【发布时间】：2016-06-09 16:43:43
【问题描述】：

问题：

鉴于这 3 个对数字和整数 n 的有效操作：

数字加 1

将数字乘以 2

将数字乘以 3

描述一个有效的算法，用上面提到的 3 个操作从 1 到 n 的最小操作数。

例如，对于 n = 28，答案是 4：1 * 3 * 3 * 3 + 1 = 27 + 1 = 28。

我用java写了下面的代码，对于num>=1000需要很长时间才能结束。你能帮我理解w.r.t有什么问题吗？效率。我正在尝试制定更有效的算法来解决问题。请帮忙。

public static int ToN(int num){
    return to(1,num);
}
public static int to(int x,int y){
    if (x==y)
        return 0;
    if (x>y)
        return y;
    return Math.min(Math.min(to(x+1,y),to(x*2,y)),to(x*3,y))+1;
}

【问题讨论】：

你了解过朴素的递归斐波那契实现吗？为什么这么慢？出于同样的原因，您的代码很慢。

标签： algorithm dynamic-programming number-theory

【解决方案1】：

动态规划

使用以前计算的结果来计算新的结果。这使得解决方案是线性的，而不是在您的情况下是指数的。

Python 程序

import sys
n = int(raw_input())
dp = [sys.maxint]*(n+1)
dp[1] = 1

for i in xrange(2, n+1):
    dp[i] = dp[i-1]+1
    if i%2==0:    dp[i] = min(dp[i], dp[i/2]+1)
    if i%3==0:    dp[i] = min(dp[i], dp[i/3]+1)

print dp[n]

【讨论】：

【解决方案2】：

您的解决方案很慢，因为您没有缓存以前计算的结果（i

public static int ToN(int num){
    int[] opsRequired = new int[num+1];
    opsRequired[1] = 1;
    for (int i=2; i <= num; i++) {
         opsRequired[i] = opsRequired[i-1];
         if (i % 2 == 0)
             opsRequired[i] = Math.min(opsRequired[i], opsRequired[i/2]);
         if (i % 3 == 0)
             opsRequired[i] = Math.min(opsRequired[i], opsRequired[i/3]);
         opsRequired[i]++;
    }
}

【讨论】：

【解决方案3】：

你可以反省的两件事：

1）为什么你的递归方法需要两个参数？如果问题始终涉及从 1 到 n 的移动，我们可以只用一个参数来管理。请注意，在递归时，您按原样传递 y（并且您也不会在方法中对 y 的值进行操作）。这通常表明参数本身是多余的。
2）优化参数后，我们现在可以memoize解决方案。这将大大加快您的方法。

【讨论】：

【解决方案4】：

对于正整数，乘以 3 总是比乘以 2 快，而乘以 2 总是比加 1 快。所以算法很简单。

if x == y return 0
if x <= y/3 return 1 + to(x*3,y)
if x <= y/2 return 1 + to(x*2,y)
return y-x

【讨论】：